Question

【題目】如圖1，圓O的兩條弦AC、BD交于點(diǎn)E，兩條弦所成的銳角或者直角記為∠α

（1）點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)通過(guò)畫(huà)圖和測(cè)量得到以下近似數(shù)據(jù)：

的度數(shù)	30.2°	40.4°	50.0°	61.6°
的度數(shù)	55.7°	60.4°	80.2°	100.3°
∠α的度數(shù)	43.0°	50.2°	65.0°	81.0°

猜想： 、、∠α的度數(shù)之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由﹒

（2）如圖2，若∠α＝60°，AB＝2，CD＝1，將以圓心為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直至點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，同時(shí)B落在圓O上的點(diǎn)，連接CG﹒

①求弦CG的長(zhǎng)；

②求圓O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）∠α＝（的度數(shù)+ 的度數(shù)），見(jiàn)解析；（2）①，②

【解析】

（1）連接BC，如圖1，先利用三角形外角性質(zhì)得到∠α＝∠B+∠C，再利用圓周角與它所對(duì)弧的度數(shù)之間的關(guān)系得到∠B＝的度數(shù)，∠C＝的度數(shù)，所以∠α＝（的度數(shù)+ 的度數(shù)）；

（2）①連接OG、OC、AG，作OH⊥CG于H，GF⊥CD于F，如圖2，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AB＝DG＝2，利用由（1）的結(jié)論得到的度數(shù)為120°，則∠COG＝120°，

關(guān)鍵圓周角定理計(jì)算出∠CDG＝120°，則∠GDF＝60°，于是通過(guò)解直角三角形可計(jì)算出CG的長(zhǎng)；

②利用垂徑定理得到CH＝GH＝，然后通過(guò)解直角三角形求出OG即可．

解：（1）∠α＝（的度數(shù)+ 的度數(shù)）

理由如下：連接BC，如圖1，

∠α＝∠B+∠C，

而∠B＝的度數(shù)，∠C＝的度數(shù)，

∴∠α＝（的度數(shù)+ 的度數(shù)）；

（2）①連接OG、OC、AG，作OH⊥CG于H，GF⊥CD于F，如圖2，

∵將 以圓心為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直至點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，同時(shí)B落在圓O上的點(diǎn)G，

∴，AB＝DG＝2，

由（1）得的度數(shù)+的度數(shù)＝2∠α＝120°，

的度數(shù)+的度數(shù)＝2∠α＝120°，

即的度數(shù)為120°，

∴∠COG＝120°，

∴∠CAG＝60°，

而∠CAG+∠CDG＝120°，

∴∠CDG＝120°，

∴∠GDF＝60°，

在Rt△GDF中，DF＝DG＝1，GF＝DF＝，

在Rt△CFG中，CG；

②∵OH⊥CG，

∴CH＝GH＝CG＝，

∵∠OGH＝（180°﹣120°）＝30°，

∴，

∴OG＝2OH＝，

即圓O的半徑為．