Question

如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的邊長是2．O為坐標原點，點A在x的正半軸上，點C在y的正半軸上．一條拋物線經過A點，頂點D是OC的中點．
（1）求拋物線的表達式；
（2）正方形OABC的對角線OB與拋物線交于E點，線段FG過點E與x軸垂直，分別交x軸和線段BC于F，G點，試比較線段OE與EG的長度；
（3）點H是拋物線上在正方形內部的任意一點，線段IJ過點H與x軸垂直，分別交x軸和線段BC于I、J點，點K在y軸的正半軸上，且OK=OH，請證明△OHI≌△JKC．

Answer 1

分析：（1）解本題時可先設出二次函數(shù)的方程，然后根據(jù)所給的條件可得出拋物線上的兩點，代入函數(shù)解析式計算即可．
（2）本題根據(jù)觀察可知OB的表達式為：y=x，由此可設點E的坐標為（m，m），再根據(jù)點E在拋物線上，將E點的坐標代入拋物線解析式，化簡即可得出E點的坐標．根據(jù)兩點之間的距離公式即可得出OE的長，再根據(jù)EG=GF-EF即可得出EG的長，比較即可得出答案．
（3）本題可先設出H點的坐標，由H點在拋物線上列出關于H點坐標的方程，再根據(jù)勾股定理OH²=OI²+HI²得出OH關于H點坐標的式子，根據(jù)OK=OH可得出CK的長，證明CK=IH，最后根據(jù)三角形相似定理HL即可證出兩三角形全等．

解答：（1）解：由題意，設拋物線的解析式為：y=ax²+b．
將點D的坐標（0，1），點A的坐標（2，0）代入，
得：a=-

1

4

，b=1．
所求拋物線的解析式為y=-

1

4

x²+1．

（2）解：由于點E在正方形的對角線OB上，又在拋物線上，
設點E的坐標為（m，m）（0＜m＜2），
則m=-

1

4

m²+1．
解得m₁=2

2

-2，m₂=-2

2

-2（舍去）．
所以OE=

2

m=4-2

2

．
所以EG=GF-EF=2-m=2-（2

2

-2）=4-2

2

．
所以OE=EG．

（3）證明：設點H的坐標為（p，q）（0＜p＜2，0＜q＜2），
由于點H在拋物線y=-

1

4

x²+1上，
所以q=-

1

4

p²+1，
即p²=4-4q．
因為OH²=OI²+HI²=p²+q²=4-4q+q²=（2-q）²，
所以OH=2-q．
所以OK=OH=2-q．
所以CK=2-（2-q）=q=IH．
因為CJ=OI，∠OIH=∠JCK=90°，
所以△OHI≌△JKC．

點評：本題考查了二次函數(shù)的應用．解此類題目時要注意學會假設未知數(shù)，結合勾股定理和三角形相似的性質來解．