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        1. 【題目】通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目,可達到解一題知一類的目的.下面是一個案例,請補充完整.

          原題:如圖1,點EF分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,EAF=45°,連接EF,則EFBEDF,試說明理由.

          (1)思路梳理

          ABCD,

          ABE繞點A逆時針旋轉90°ADG,可使ABAD重合.

          ∵∠ADCB=90°,

          ∴∠FDG=180°,點FD、G共線.

          根據(jù)___________,SAS

          易證AFG___________AEF

          ,得EFBEDF

          (2)類比引申

          如圖2,四邊形ABCD中,ABAD,BAD=90°.點E、F分別在邊BC、CD上,EAF=45°.若B、D都不是直角,則當BD滿足等量關系______________B+D=180°

          時,仍有EFBEDF

          (3)聯(lián)想拓展

          如圖3,在ABC中,BAC=90°ABAC,點D、E均在邊BC上,且DAE=45°.猜想BD、DEEC應滿足的等量關系,并寫出推理過程.

          【答案】答案見解析.

          【解析】

          試題分析:(1)把ABE繞點A逆時針旋轉90°ADG,可使AB與AD重合,再證明AFG≌△AFE進而得到EF=FG,即可得EF=BE+DF;

          (2)B+D=180°時,EF=BE+DF,與(1)的證法類同;

          (3)根據(jù)AEC繞點A順時針旋轉90°得到ABE,根據(jù)旋轉的性質,可知AEC≌△ABE得到BE=EC,AE=AE,C=ABE,EAC=EAB,根據(jù)RtABC中的,AB=AC得到EBD=90°,所以EB2+BD2=ED2,證AED≌△AED,利用DE=DE得到DE2=BD2+EC2;

          試題解析:(1)AB=AD,

          ABE繞點A逆時針旋轉90°ADG,可使AB與AD重合.

          ∴∠BAE=DAG,

          ∵∠BAD=90°,EAF=45°,

          ∴∠BAE+DAF=45°,

          ∴∠EAF=FAG,

          ∵∠ADC=B=90°,

          ∴∠FDG=180°,點F、D、G共線,

          AFE和AFG中

          ,

          ∴△AFE≌△AFG(SAS),

          EF=FG,

          即:EF=BE+DF.

          (2)B+D=180°時,EF=BE+DF;

          AB=AD,

          ABE繞點A逆時針旋轉90°ADG,可使AB與AD重合,

          ∴∠BAE=DAG,

          ∵∠BAD=90°,EAF=45°

          ∴∠BAE+DAF=45°,

          ∴∠EAF=FAG,

          ∵∠ADC+B=180°,

          ∴∠FDG=180°,點F、D、G共線,

          AFE和AFG中

          ,

          ∴△AFE≌△AFG(SAS),

          EF=FG,

          即:EF=BE+DF.

          (3)猜想:DE2=BD2+EC2,

          證明:連接DE,根據(jù)AEC繞點A順時針旋轉90°得到ABE,

          ∴△AEC≌△ABE,

          BE=EC,AE=AE,

          C=ABE,EAC=EAB,

          RtABC,

          AB=AC,

          ∴∠ABC=ACB=45°

          ∴∠ABC+ABE=90°,

          EBD=90°,

          EB2+BD2=ED2,

          ∵∠DAE=45°,

          ∴∠BAD+EAC=45°,

          ∴∠EAB+BAD=45°

          EAD=45°,

          AEDAED

          ∴△AED≌△AED(SAS),

          DE=DE,

          DE2=BD2+EC2

          練習冊系列答案
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