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        1. 【題目】某校九年級(jí)學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過(guò)程中,用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖(1)所示位置放置放置,現(xiàn)將RtAEF繞A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α(0°α<90°),如圖(2),AE與BC交于點(diǎn)M,AC與EF交于點(diǎn)N,BC與EF交于點(diǎn)P.

          (1)求證:AM=AN;

          (2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=30°時(shí),四邊形ABPF是什么樣的特殊四邊形?并說(shuō)明理由.

          【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=30°時(shí),四邊形ABPF是菱形.理由見(jiàn)解析.

          【解析】

          試題分析:(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AB=AF,BAM=FAN,進(jìn)而得出ABM≌△AFN得出答案即可;

          (2)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出FAB=120°,FPC=B=60°,即可得出四邊形ABPF是平行四邊形,再利用菱形的判定得出答案.

          試題解析:(1)用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖(1)所示位置放置放置,

          現(xiàn)將RtAEF繞A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α(0°α<90°),

          AB=AF,BAM=FAN,

          ABM和AFN中,

          ,

          ∴△ABM≌△AFN(ASA),

          AM=AN;

          (2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=30°時(shí),四邊形ABPF是菱形.

          理由:連接AP,

          ∵∠α=30°,

          ∴∠FAN=30°

          ∴∠FAB=120°,

          ∵∠B=60°,

          ∴∠B+FAB=180°,

          AFBP,

          ∴∠F=FPC=60°,

          ∴∠FPC=B=60°,

          ABFP,

          四邊形ABPF是平行四邊形,

          AB=AF,

          平行四邊形ABPF是菱形.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (1)思路梳理

          ABCD,

          ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°ADG,可使ABAD重合.

          ∵∠ADCB=90°,

          ∴∠FDG=180°,點(diǎn)F、DG共線.

          根據(jù)___________,SAS

          易證AFG___________AEF

          ,得EFBEDF

          (2)類比引申

          如圖2,四邊形ABCD中,ABADBAD=90°.點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,EAF=45°.若B、D都不是直角,則當(dāng)BD滿足等量關(guān)系______________B+D=180°

          時(shí),仍有EFBEDF

          (3)聯(lián)想拓展

          如圖3,在ABC中,BAC=90°,ABAC,點(diǎn)D、E均在邊BC上,且DAE=45°.猜想BDDE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系,并寫(xiě)出推理過(guò)程.

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          (1)求證:DEK∽△DFB;

          (2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫(xiě)出定義域;

          (3)聯(lián)結(jié)CD,當(dāng)時(shí),求x的值.

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