Question

如圖，已知△ABC內接于⊙O，AC是⊙O的直徑，D是的中點，過點D作直線BC的垂線，分別交CB、CA的延長線E、F

（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若EF＝12，EC＝9，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）要證EF是⊙O的切線，只要連接OD，再證OD⊥EF即可；（2）

試題分析：（1）要證EF是⊙O的切線，只要連接OD，再證OD⊥EF即可；
（2）先根據(jù)勾股定理求出CF的長，再根據(jù)相似三角形的判定和性質求出⊙O的半徑．
（1）連接OD交于AB于點G．

∵D是的中點，OD為半徑，
∴AG=BG．
∵AO=OC，
∴OG是△ABC的中位線．
∴OG∥BC，
即OD∥CE．
又∵CE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切線；
（2）在Rt△CEF中，EF＝12，EC＝9
∴CF=15
設半徑OC=OD=r，則OF=15-r，
∵OD∥CE，
∴△FOD∽△FCE，

∴，解得
即⊙O的半徑為.
點評：要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．