Question

【題目】一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等且不平行的四邊形叫做等腰梯形．
（1）類比研究
我們?cè)趯W(xué)完平行四邊形后，知道可以從對(duì)稱性、邊、角和對(duì)角線四個(gè)角度對(duì)四邊形進(jìn)行研究，完成表．

四邊形	對(duì)稱性	邊	角	對(duì)角線
平行 四邊形	．	兩組對(duì)邊分別平行，兩組對(duì)邊分別相等．	兩組對(duì)角 分別相等．	對(duì)角線互相平分．
等腰 梯形	軸對(duì)稱圖形，過(guò)平行的一組對(duì)邊中點(diǎn)的直線是它的對(duì)稱軸．	一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等．	．	．

（2）演繹論證
證明等腰梯形有關(guān)角和對(duì)角線的性質(zhì)．
已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC、BD是對(duì)角線．
求證：
證明：
揭示關(guān)系
我們可以用圖來(lái)揭示三角形和一些特殊三角形之間的關(guān)系．

（3）請(qǐng)用類似的方法揭示四邊形、對(duì)角線相等的四邊形、平行四邊形、矩形以及等腰梯形之間的關(guān)系．

Answer 1

【答案】
（1）中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心；同一底上的兩個(gè)角相等；對(duì)角線相等．
（2）

求證：∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，AC=BD

證明： ∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，AC=BD．

故答案分別為中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心；同一底上的兩個(gè)角相等；對(duì)角線相等；∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，AC=BD．

方法一：

證明：過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，交BC于點(diǎn)E．

∴∠ABE=∠DEC，

∵AD∥BC，

∴四邊形ABED是平行四邊形，

∴AB=DE，

又∵AB=DC，

∴DE=DC，

∴∠DCE=∠DEC，

∴∠ABE=∠DCE，即∠ABC=∠DCB，

∵AD∥BC，

∴∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，

∵∠ABC=∠DCB，

∴∠BAD=∠CDA，

在△ABC和△DCB中，

，

∴△ABC≌△DCB，

∴AC=BD．

方法二：

證明：分別過(guò)點(diǎn)A、D作AE⊥BC于點(diǎn)E、DF⊥BC于點(diǎn)F．

∴∠AEF=∠DFC=90°，

∴AE∥DF，

∵AD∥BC，

∴四邊形AEFD是平行四邊形，

∴AE=DF，

在Rt△ABE和Rt△DCF中，

∴Rt△ABE≌Rt△DCF，

∴∠ABE=∠DCF，即∠ABC=∠DCB，

∵AD∥BC，

∴∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，

∵∠ABC=∠DCB，

∴∠BAD=∠CDA，

在△ABC和△DCB中，

，

∴△ABC≌△DCB，

∴AC=BD．

（3）

解：如圖所示．

【解析】（1）根據(jù)平行四邊形、等腰梯形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
（2.）結(jié)論：∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，AC=BD．
方法一：過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，交BC于點(diǎn)E． 首先證明四邊形ABED是平行四邊形，推出AB=DE，又AB=DC，推出DE=DC，推出∠DCE=∠DEC，推出∠ABE=∠DCE，即∠ABC=∠DCB，由AD∥BC，推出∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，由∠ABC=∠DCB，推出∠BAD=∠CDA，再證明△ABC≌△DCB即可解決問(wèn)題．
方法二：分別過(guò)點(diǎn)A、D作AE⊥BC于點(diǎn)E、DF⊥BC于點(diǎn)F． 由Rt△ABE≌Rt△DCF，推出∠ABE=∠DCF，即∠ABC=∠DCB，由AD∥BC，推出∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，由∠ABC=∠DCB，推出∠BAD=∠CDA，再證明△ABC≌△DCB，即可．
（3.）模仿三角形和一些特殊三角形之間的關(guān)系，畫(huà)出圖形即可．
【考點(diǎn)精析】掌握推理與論證是解答本題的根本，需要知道一個(gè)正確的論證必須滿足兩個(gè)條件：1、論據(jù)（前提）是真實(shí)的；2、論證方式（推理形式）是正確的（有效的）．