Question

【題目】如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：

①以B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AB．BC于點(diǎn)M，N；②分別以M，N為圓心，以大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E；③作射線BE；④用同樣的方法作射線CF．BE交CF于點(diǎn)O．

請(qǐng)根據(jù)作圖回答下列問(wèn)題：

（1）O是△ABC的　 ；

A．外心 B．內(nèi)心 C．重心

（2）若AB＝5，AC＝12，BC＝13，求O到BC的距離．

Answer 1

【答案】（1）B；（2）OP＝2．

【解析】

（1）根據(jù)三角形的內(nèi)心的定義即可判斷；（2）過(guò)O點(diǎn)作OP⊥AB，OQ⊥AC，OK⊥BC，垂足分別為P，Q，K.利用勾股定理的逆定理證明∠BAC=90°，再證明四邊形APOQ是正方形即可.

解：（1）由作圖可知，點(diǎn)O是△ABC的角平分線的交點(diǎn)，所以點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心．

故答案為B．

（2）如圖：過(guò)O點(diǎn)作OP⊥AB，OQ⊥AC，OK⊥BC，垂足分別為P，Q，K．

∵O是△ABC的內(nèi)心

∴OP＝OQ＝OK

又∵AB＝5，AC＝12，BC＝13

∴AB2+AC2＝BC2，

∴△ABC是Rt△

∴∠BAC＝90°，

∴四邊形OPAQ是正方形．

∴OP＝OQ＝OK＝（5+12﹣13）＝2．