Question

探究題：
（1）觀察下列各式：

1 1 3

=2

1 3

；

2 1 4

=3

1 4

；

3 1 5

=4

1 5

．
①猜想

4 1 6

的變形結(jié)果并驗(yàn)證；
②針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，給出用n（n為任意自然數(shù)，且n≥1）表示的等式，并進(jìn)行證明．
（2）把閱讀下面的解題過(guò)程：
已知實(shí)數(shù)a、b滿足a+b=8，ab=15，且a＞b，試求a-b的值．
∵a+b=8，ab=15
∴（a+b）²=a²+2ab+b²=64
∴a²+b²=34
∴（a-b）²=a²-2ab+b²=34-30=4
∴a-b=

4

=2．
請(qǐng)你仿照上面的解題過(guò)程，解答下面的問(wèn)題：已知實(shí)數(shù)x滿足x+

1

x

=

8

，且x＞

1

x

，試求x-

1

x

的值．

Answer 1

（1）①猜想：

4 1 6

=5

1 6

，驗(yàn)證如下：
左邊=

25 6

=5

1 6

=右邊，等式成立；
②根據(jù)規(guī)律，可以表示為：

n+ 1 n+2

=（n+1）

1 n+2

，驗(yàn)證如下：
左邊=

n2+2n+1 n+2

=

(n+1)2 n+2

=（n+1）

1 n+2

=右邊，等式成立；

（2）∵x+

1

x

=

8

，
∴（x-

1

x

）²=（x+

1

x

）²-4=8-4=4
又x＞

1

x

，
∴x-

1

x

=2．