Question

附加題：如圖，正方形ABCD正方形ABCD中，BD是對角線，E、F點分別在BC、CD邊上，且△AEF是等邊三角形．
（1）求證：△ABE≌△ADF；
（2）過點D作DG⊥BD交BC延長線于點G，在DB上截取DH=DA，連接HG．請你參考下面方框中的方法指導(dǎo)，證明：GH=GE．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)HL證明△ABE≌△ADF．
（2）設(shè)EC、BE分別為x、y，根據(jù)△ABE≌△ADF得出DF=BE、FC=EC；GE=BG-EG，進而用x、y代數(shù)式表示出GE²，在Rt△DHG中用x、y的代數(shù)式表示出GH²，將表示GE²與GH²的代數(shù)式進行整理得出GE=GH．

解答：證明：（1）∵正方形ABCD，
∴AB=AD．
∵△AEF是等邊三角形，
∴AE=AF．
∴△ABE≌△ADF．

（2）設(shè)EC=x，BE=y，那么AB=DA=x+y，
∵△ABE≌△ADF，
∴DF=BE．
∴FC=EC．
GE²=（BG-BE）²=（2x+y）²=4x²+4xy+y²=3x²+x²+4xy+y²①
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
∴EF=AE=

2

x，
∵∠BDG=90°，∠DBG=45°，
∴△BDG是等腰Rt△，
在Rt△DHG中，GH²=3DA²=3x²+6xy+3y²
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
2x²=（x+y）²+y²，即x²=2xy+2y²②
將②代入①即得：GE²=3x²+6xy+3y²
∴GH=GE．

點評：本題首先計算得出兩線段的平方相等，從而得出兩線段相等，這是利用代數(shù)方法證明幾何問題的一個典型例子．