Question

如圖，在△ABC中，AB=BC=AC，BD是中線，延長(zhǎng)BC到E，使CE=CD．
（1）已知CD=3，求BE的長(zhǎng)；
（2）求證：BD=ED；
（3）若點(diǎn)F是BE邊的中點(diǎn)，試判斷DF與BE的位置關(guān)系并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中線的性質(zhì)得到BC=AC=2CD=6，從而求得線段BE的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根據(jù)角之間的關(guān)系求得∠DBC=∠CED，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得到DB=DE．
（3）利用等腰三角形的性質(zhì)即可得到DF和BE是垂直關(guān)系．

解答：解：（1）∵AB=BC=AC，BD是中線，
∴BC=AC=2CD
∵CD=3，
∴BC=2CD=6，CE=CD=3
∴BE=BC+CE=6+3=9
（2）∵△ABC是等邊三角形，BD是中線，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∠DBC=30°（等腰三角形三線合一）．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=

1

2

∠BCD=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角對(duì)等邊）．
（3）∵點(diǎn)F是BE邊的中點(diǎn)，
∴DF是BE邊的中線，
∵BD=ED
∴DF⊥BE

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)的理解及運(yùn)用；利用三角形外角的性質(zhì)得到∠CDE=30°是正確解答本題第二問(wèn)的關(guān)鍵．