Question

【題目】閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．

“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題：今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言表達是：如圖，為的直徑，弦，垂足為，寸，尺，其中1尺寸，求出直徑的長．

解題過程如下：

連接，設(shè)寸，則寸．

∵尺，∴寸．

在中，，即，解得，

∴寸．

任務(wù)：

（1）上述解題過程運用了 定理和 定理．

（2）若原題改為已知寸，尺，請根據(jù)上述解題思路，求直徑的長．

（3）若繼續(xù)往下鋸，當(dāng)鋸到時，弦所對圓周角的度數(shù)為 ．

Answer 1

【答案】（1）垂徑，勾股；（2）26寸；（3）或

【解析】

（1）由解題過程可知根據(jù)垂徑定理求出AE的長，在Rt△OAE中根據(jù)勾股定理求出r的值，即可得到答案．
（2）連接OA，設(shè)OA=r寸，則OE=DE-r=25-r，再根據(jù)垂徑定理求出AE的長，在Rt△OAE中根據(jù)勾股定理求出r的值，進而得出結(jié)論．
（3）當(dāng)AE=OE時，△AEO是等腰直角三角形，則∠AOE=45°，∠AOB=90°，所以由圓周角定理推知弦AB所對圓周角的度數(shù)為 45°或135°．

解：（1）根據(jù)題意知，上述解題過程運用了 垂徑定理和 勾股定理．

故答案是：垂徑；勾股；
（2）連接OA，設(shè)OA=r寸，則OE=DE-r=（25-r）寸
∵AB⊥CD，AB=1尺，∴AE=AB=5寸
在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，即r2=52+（25-r）2，解得r=13，
∴CD=2r=26寸
（2）∵AB⊥CD，
∴當(dāng)AE=OE時，△AEO是等腰直角三角形，
∴∠AOE=45°，
∴∠AOB=2∠AOE=90°，
∴弦AB所對圓周角的度數(shù)為∠AOB=45°．
同理，優(yōu)弧AB所對圓周角的度數(shù)為135°．
故答案是：45°或135°．