Question

如圖，直線y=kx+2k（k≠0）與x軸交于點(diǎn)B，與雙曲線y=（m+5）x^2m+1交于點(diǎn)A、C，其中點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)C在第三象限；
求：
（1）m的值；
（2）B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若△AOB的面積等于2，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（4）在（3）的條件下，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△AOP是等腰三角形？若存在，請(qǐng)寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)雙曲線函數(shù)的定義可以確定m的值；
（2）利用y=kx+2k當(dāng)y=0時(shí)，x=-2就知道B的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)（1）知道OB=2，而S_△AOB=2，利用它們可以求出A的坐標(biāo)；
（4）存在點(diǎn)P，使△AOP是等腰三角形．只是確定P坐標(biāo)時(shí)，題目沒有說明誰是腰，是底，所以要分類討論，不要漏解．

解答：解：（1）∵y=（m+5）x^2m+1是雙曲線，
∴

2m+1=-1 m+5≠0

，
∴m=-1；

（2）∵直線y=kx+2k（k≠0）與x軸交于點(diǎn)B，
∴當(dāng)y=0時(shí)，0=kx+2k，
∴x=-2，
∴B（-2，0）；

（3）∵B（-2，0）
∴OB=2，
過A作AD⊥x軸于點(diǎn)D
∵點(diǎn)A在雙曲線y=

4

x

上，
∴設(shè)A（a，b）
∴ab=4，AD=b，
又∵△AOB=

1

2

OB•AD=

1

2

×2b=2
∴b=2，
∴a=2，
∴A（2，2）；

（4）當(dāng)AP₁⊥x軸，AP₁=OP₁，∴P₁（2，0），
當(dāng)AO=AP₂，∴P₂（4，0），
當(dāng)AO=OP₃，∴P₃（-2

2

，0），
當(dāng)AO=OP₄，∴P₄（2

2

，0），
則P點(diǎn)的坐標(biāo)為：P₁（2，0），P₂（4，0），P₃（-2

2

，0），P₄（2

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)的定義確定函數(shù)的解析式，也考查了利用函數(shù)的性質(zhì)確定點(diǎn)的坐標(biāo)，最后考查了根據(jù)圖形變換求點(diǎn)的坐標(biāo)．