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        1. 已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4.點(diǎn)Q是線(xiàn)段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Q作AC的垂線(xiàn)交線(xiàn)段AB(如圖1)或線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)(如圖2)于點(diǎn)P.

          (1)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上時(shí),求證:△APQ∽△ABC;
          (2)當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí),求AP的長(zhǎng).

          (1)見(jiàn)解析;(2)AP的長(zhǎng)為或6.

          解析試題分析:(1)由兩對(duì)角相等(∠APQ=∠C,∠A=∠A),證明△APQ∽△ABC.
          (2)當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí),有兩種情況,需要分類(lèi)討論.
          (I)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上時(shí),如題圖1所示.由三角形相似(△APQ∽△ABC)關(guān)系計(jì)算AP的長(zhǎng);
          (II)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),如題圖2所示.利用角之間的關(guān)系,證明點(diǎn)B為線(xiàn)段AP的中點(diǎn),從而可以求出AP.
          試題解析:
          (1)證明:∵∠A+∠APQ=90°,∠A+∠C=90°,∴∠APQ=∠C.
          在△APQ與△ABC中,∵∠APQ=∠C,∠A=∠A,
          ∴△APQ∽△ABC.
          (2)在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,由勾股定理得:AC=5.
          ∵∠BPQ為鈍角,∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí),只可能是PB=PQ.
          (I)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上時(shí),如題圖1所示,
          由(1)可知,△APQ∽△ABC,
          ,即,解得:.
          .
          (II)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),如題圖2所示,
          ∵BP=BQ,∴∠BQP=∠P.
          ∵∠BQP+∠AQB=90°,∠A+∠P=90°,∴∠AQB=∠A.∴BQ=AB.
          ∴AB=BP,點(diǎn)B為線(xiàn)段AB中點(diǎn).
          ∴AP=2AB=2×3=6.
          綜上所述,當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí),AP的長(zhǎng)為或6.
          考點(diǎn):1.相似三角形的判定與性質(zhì);2.等腰三角形的性質(zhì);3.直角三角形斜邊上的中線(xiàn);4.勾股定理.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

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          如圖,在△ABC中,AC=8cm,BC=16cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿著AC邊向點(diǎn)C以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿著CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng),如果P與Q同時(shí)出發(fā),經(jīng)過(guò)幾秒△PQC和△ABC相似?

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          (2)如圖2,若四邊形ABCD是平行四邊形,試探究:
          當(dāng)∠B與∠EGC滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí),使得=成立?并證明你的結(jié)論;
          (3)如圖3,若BA="BC=" 3,DA="DC=" 4,∠BAD= 90°,DE⊥CF.則的值為        

          圖1                     圖2                     圖3

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

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          求證:(1)點(diǎn)F是DC上一點(diǎn),連接EF,交AC于點(diǎn)O(如圖1),△AOE∽△COF;
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          (1)求完成該工程需要多少立方米方土?
          (2)某工程隊(duì)在加固600立方米土后,采用新的加固模式,這樣每天加固方數(shù)是原來(lái)的2倍,結(jié)果只用11天完成了大壩加固的任務(wù).請(qǐng)你求出該工程隊(duì)原來(lái)每天加固多少立方米土?

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          (2)求線(xiàn)段AE的長(zhǎng).

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          圖1
          (1)求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出的取值范圍;
          (2)如圖2,對(duì)角線(xiàn)AC、BD的交點(diǎn)記作O,直線(xiàn)OF交線(xiàn)段CE于點(diǎn)G,求證:;

          圖2
          (3)在(2)的條件下,當(dāng)時(shí),求的值.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

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          求證:△ABC∽△DEF

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