Question

【題目】如圖，ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，DE⊥AE，下列結(jié)論：：①DE平分∠ADC；②E是BC的中點(diǎn)；③AD=2CD；④梯形ADCE的面積與△ABE的面積比是3：1，其中正確的結(jié)論的個數(shù)有（ ）

A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠BAD+∠ADC=180°，

∵AE平分∠BAD，

∴∠EAD=∠BAE= ∠BAD，

∵DE⊥AE，

∴∠AED=90°，

∴∠EAD+∠ADE=90°，

∴∠BAE+∠CDE=90°，

∴∠ADE=∠CDE，

∴DE平分∠ADC，故①正確；
②∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AB=AC

∴∠DAE=∠AEB，

∵∠EAD=∠BAE，

∴∠BAE=∠BEA，

∴AB=EB，

同理EC=DC，

∴EB=EC，

∴E是BC的中點(diǎn)，故②正確；
③∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，

∵BE=EC，

∴AD=2CD，故③正確；
④∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴S△AED= S平行四邊形ABCD，

∴S△ABE+S△EDC═ S平行四邊形ABCD，

∵EB=EC，

∴S△ABE=S△DCE，

∴梯形ADCE的面積與△ABE的面積比是3：1，故④正確，
故D符合題意.

故答案為：D．

①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)∠BAD+∠ADC=180°，再由DE⊥AE可得∠EAD+∠ADE=90°，進(jìn)而可證明∠ADE=∠CDE，從而可判斷；
②根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，進(jìn)而證得AB=EB，EC=DC，從而可判斷；
③根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形易判斷；
④根據(jù)平行四邊形的面積可得S△ABE=S△DCE，從而可得梯形ADCE的面積與△ABE的面積比.