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        1. 【題目】如圖,拋物線y=x2+mx+n與直線y=﹣x+3交于A,B兩點(diǎn),交x軸與D,C兩點(diǎn),連接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).

          )求拋物線的解析式和tanBAC的值;

          )在()條件下,P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連接PA,過(guò)點(diǎn)P作PQPA交y軸于點(diǎn)Q,問(wèn):是否存在點(diǎn)P使得以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與ACB相似?若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

          【答案】)y=x2x+3,;)滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(11,36)、(,)、().

          【解析】

          試題分析:)只需把A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x2+mx+n,就可得到拋物線的解析式,然后求出直線AB與拋物線的交點(diǎn)B的坐標(biāo),過(guò)點(diǎn)B作BHx軸于H,如圖1.易得BCH=ACO=45°,BC=,AC=3,從而得到ACB=90°,然后根據(jù)三角函數(shù)的定義就可求出tanBAC的值;

          )過(guò)點(diǎn)P作PGy軸于G,則PGA=90°.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,由P在y軸右側(cè)可得x>0,則PG=x,易得APQ=ACB=90°.若點(diǎn)G在點(diǎn)A的下方,①當(dāng)PAQ=CAB時(shí),PAQ∽△CAB.此時(shí)可證得PGA∽△BCA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AG=3PG=3x.則有P(x,3﹣3x),然后把P(x,3﹣3x)代入拋物線的解析式,就可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)②當(dāng)PAQ=CBA時(shí),PAQ∽△CBA,同理,可求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方,同理,可求出點(diǎn)P的坐標(biāo);

          解:()把A(0,3),C(3,0)代入y=x2+mx+n,得

          ,

          解得:

          拋物線的解析式為y=x2x+3.

          聯(lián)立,

          解得:

          點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,1).

          過(guò)點(diǎn)B作BHx軸于H,如圖1.C(3,0),B(4,1),

          BH=1,OC=3,OH=4,CH=4﹣3=1,BH=CH=1

          ∵∠BHC=90°,∴∠BCH=45°,BC=

          同理:ACO=45°,AC=3,

          ∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°,

          tanBAC===;

          )(1)存在點(diǎn)P,使得以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與ACB相似.

          過(guò)點(diǎn)P作PGy軸于G,則PGA=90°

          設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,由P在y軸右側(cè)可得x>0,則PG=x.

          PQPA,ACB=90°,∴∠APQ=ACB=90°

          若點(diǎn)G在點(diǎn)A的下方,

          ①如圖2①,當(dāng)PAQ=CAB時(shí),則PAQ∽△CAB

          ∵∠PGA=ACB=90°,PAQ=CAB∴△PGA∽△BCA,

          ==

          AG=3PG=3x

          則P(x,3﹣3x).把P(x,3﹣3x)代入y=x2x+3,得:x2x+3=3﹣3x,

          整理得:x2+x=0,解得:x1=0(舍去),x2=﹣1(舍去).

          ②如圖2②,當(dāng)PAQ=CBA時(shí),則PAQ∽△CBA

          同理可得:AG=PG=x,則P(x,3﹣x),

          把P(x,3﹣x)代入y=x2x+3,得:x2x+3=3﹣x,

          整理得:x2x=0,解得:x1=0(舍去),x2=,P);

          若點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方,

          ①當(dāng)PAQ=CAB時(shí),則PAQ∽△CAB

          同理可得:點(diǎn)P的坐標(biāo)為(11,36).

          ②當(dāng)PAQ=CBA時(shí),則PAQ∽△CBA

          同理可得:點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(,).

          綜上所述:滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(11,36)、(,)、(,).

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          6

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          選手甲的成績(jī)/秒

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          122

          選手乙的成績(jī)/秒

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          124

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          13

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          123

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          x(單位:kg)

          10

          20

          30

          y1(單位:/元)

          3030

          3060

          3090

          (1)求y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

          (2)經(jīng)過(guò)試銷發(fā)現(xiàn),這種食品每月的銷售收入y2(元)與銷量x(kg)之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系

          ①y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式為 ;

          ②假設(shè)該公司每月生產(chǎn)的該種食品均能全部售出,那么該公司每月至少要生產(chǎn)該種食品多少kg,才不會(huì)虧損?

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          (1)求證:ABE≌△CBF;

          (2)若CAE=30°,求EFC的度數(shù).

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