Question

如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，有一內(nèi)角為60°，M為CD邊上的中點(diǎn)，P為對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PD+PM的最小值為

 

．

Answer 1

分析：由于菱形ABCD的一內(nèi)角為60°，可假設(shè)∠DCB=∠DAB=60°，則∠ADC=∠ABC=120°，連接BD、BM由菱形的性質(zhì)可知，AC是BD的垂直平分線，即點(diǎn)B是點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)，故BM即為PD+PM的最小值，再由等邊三角形的判定定理可得出△BDC是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)即可求出BM的長(zhǎng)．

解答：解：∵菱形ABCD的一內(nèi)角為60°，
∴設(shè)∠DCB=∠DAB=60°，則∠ADC=∠ABC=120°，
連接BD、BM，則AC是BD的垂直平分線，即點(diǎn)B是點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)，
∴BM即為PD+PM的最小值，
∵四邊形ABCD是菱形，∠ADC=∠ABC=120°，
∴∠BDC=∠DBC=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∵M(jìn)為CD邊上的中點(diǎn)，
∴BM⊥DC，
∵DC=BC=6，
∴CM=

1

2

DC=

1

2

×6=3，
在Rt△BMC中，BM=

BC2-CM2

=

62-32

=3

3

．
故答案為：3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題及菱形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．