Question

【題目】已知△ABD與△GDF都是等腰直角三角形，BD與DF均為斜邊（BD＜DF）．

（1）如圖1，B，D，F(xiàn)在同一直線上，過(guò)F作MF⊥GF于點(diǎn)F，取MF=AB，連結(jié)AM交BF于點(diǎn)H，連結(jié)GA，GM．

①求證：AH=HM；

②請(qǐng)判斷△GAM的形狀，并給予證明；

③請(qǐng)用等式表示線段AM，BD，DF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

（2）如圖2，GD⊥BD，連結(jié)BF，取BF的中點(diǎn)H，連結(jié)AH并延長(zhǎng)交DF于點(diǎn)M，請(qǐng)用等式直接寫(xiě)出線段AM，BD，DF的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）①詳見(jiàn)解析；②詳見(jiàn)解析；（2）AM2=BD2+DF2﹣ DFBD．

【解析】

（1）①易證∠ABD=∠HFM=45°，從而根據(jù)“AAS”可證△AHB≌△MHF，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得AH=HM；

②根據(jù)“SAS”可證△GAD≌△GMF，從而AG=GM，∠AGD=∠MGF，進(jìn)而可證∠AGM=90°,所以△GAM是等腰直角三角形；

③根據(jù)勾股定理即可得出線段AM，BD，DF的數(shù)量關(guān)系；

（2）易證∠ADM=90°，根據(jù)“AAS”可證△ABH≌△HFM，從而FM=AB，然后根據(jù)AM2=AD2+DM2整理即可.

（1）①證明：如圖1，∵M(jìn)F⊥GF，

∴∠GFM=90°，

∵△ABD與△GDF都是等腰直角三角形，

∴∠DFG=∠ABD=45°，

∴∠HFM=90°﹣45°=45°，

∴∠ABD=∠HFM，

∵AB=MF，∠AHB=∠MHF，

∴△AHB≌△MHF，

∴AH=HM；

②如圖1，△GAM是等腰直角三角形，理由是：

∵△ABD與△GDF都是等腰直角三角形，

∴AB=AD，DG=FG，

∠ADB=∠GDF=45°，

∴∠ADG=∠GFM=90°，

∵AB=FM，

∴AD=FM，

∴△GAD≌△GMF，

∴AG=GM，∠AGD=∠MGF，

∴∠ADG+∠DGM=∠MGF+∠DGM=90°，

∴△GAM是等腰直角三角形；

③如圖1，AM2=BD2+DF2，理由是：

∵△AGM是等腰直角三角形，

∴AM2=2MG2，

Rt△GMF中，MG2=FG2+FM2=AB2+FG2，

∵△ABD與△GDF都是等腰直角三角形，

∴AB=，F(xiàn)G=，

∴AM2=2MG2=2（+）=BD2+DF2；

（2）如圖2，∵GD⊥BD，∠ADB=45°，

∴∠ADG=45°，

∴∠ADM=45°+45°=90°，

∵∠HMF=∠ADM+∠DAM=90°+∠DAM=∠BAH，

∵H是BF的中點(diǎn)，

∴BH=HF，

∵∠AHB=∠MHF，

∴△ABH≌△HFM，

∴FM=AB，

在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM2=AD2+DM2，

=AD2+（DF﹣FM）2，

=AD2+DF2﹣2DFFM+FM2，

=BD2+DF2﹣2DF，

=BD2+DF2﹣DFBD．