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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

          【題目】已知△ABD△GDF都是等腰直角三角形,BDDF均為斜邊(BD<DF).

          (1)如圖1,B,D,F在同一直線上,過FMF⊥GF于點F,取MF=AB,連結AMBF于點H,連結GA,GM.

          求證:AH=HM;

          請判斷△GAM的形狀,并給予證明;

          請用等式表示線段AM,BD,DF的數量關系,并說明理由.

          (2)如圖2,GD⊥BD,連結BF,取BF的中點H,連結AH并延長交DF于點M,請用等式直接寫出線段AM,BD,DF的數量關系.

          【答案】(1)①詳見解析;②詳見解析;(2)AM2=BD2+DF2 DFBD.

          【解析】

          (1)①易證∠ABD=∠HFM=45°,從而根據“AAS”可證AHB≌△MHF,由全等三角形的對應邊相等可得AH=HM

          ②根據“SAS”可證GAD≌△GMF,從而AG=GM,∠AGD=∠MGF,進而可證∠AGM=90°,所以GAM是等腰直角三角形

          ③根據勾股定理即可得出線段AM,BD,DF的數量關系;

          (2)易證ADM=90°,根據“AAS”可證ABH≌△HFM,從而FM=AB,然后根據AM2=AD2+DM2整理即可.

          (1)①證明:如圖1,∵MF⊥GF,

          ∴∠GFM=90°,

          ∵△ABD△GDF都是等腰直角三角形,

          ∴∠DFG=∠ABD=45°,

          ∴∠HFM=90°﹣45°=45°,

          ∴∠ABD=∠HFM,

          ∵AB=MF,∠AHB=∠MHF,

          ∴△AHB≌△MHF,

          ∴AH=HM;

          如圖1,△GAM是等腰直角三角形,理由是:

          ∵△ABD△GDF都是等腰直角三角形,

          ∴AB=AD,DG=FG,

          ∠ADB=∠GDF=45°,

          ∴∠ADG=∠GFM=90°,

          ∵AB=FM,

          ∴AD=FM,

          ∴△GAD≌△GMF,

          ∴AG=GM,∠AGD=∠MGF,

          ∴∠ADG+∠DGM=∠MGF+∠DGM=90°,

          ∴△GAM是等腰直角三角形;

          如圖1,AM2=BD2+DF2,理由是:

          ∵△AGM是等腰直角三角形,

          ∴AM2=2MG2,

          Rt△GMF中,MG2=FG2+FM2=AB2+FG2

          ∵△ABD△GDF都是等腰直角三角形,

          ∴AB=,FG=,

          ∴AM2=2MG2=2(+)=BD2+DF2

          (2)如圖2,∵GD⊥BD,∠ADB=45°,

          ∴∠ADG=45°,

          ∴∠ADM=45°+45°=90°,

          ∵∠HMF=∠ADM+∠DAM=90°+∠DAM=∠BAH,

          ∵HBF的中點,

          ∴BH=HF,

          ∵∠AHB=∠MHF,

          ∴△ABH≌△HFM,

          ∴FM=AB,

          Rt△ADM中,由勾股定理得:AM2=AD2+DM2,

          =AD2+(DF﹣FM)2,

          =AD2+DF2﹣2DFFM+FM2,

          =BD2+DF2﹣2DF

          =BD2+DF2DFBD.

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