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        1. 【題目】我們給出如下定義:有一組相鄰內(nèi)角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形.請解答下列問題:

          1)寫出一個你所學(xué)過的特殊四邊形中是等鄰角四邊形的圖形的名稱;

          2)如圖1,在△ABC中,ABAC,點DBC上,且CDCA,點EF分別為BC、AD的中點,連接EF并延長交AB于點G.求證:四邊形AGEC是等鄰角四邊形;

          3)如圖2,若點D在△ABC的內(nèi)部,(2)中的其他條件不變,EFCD交于點H,圖中是否存在等鄰角四邊形,若存在,指出是哪個四邊形,并證明;若不存在,請說明理由.

          【答案】1)等腰梯形(或矩形,或正方形);(2)見解析;(3)存在等鄰角四邊形,為四邊形AGHC.證明見解析.

          【解析】

          1)鄰角相等的四邊形有很多,矩形、正方形或者等腰梯形都至少有一組鄰角相等;

          2)解本題有兩種方法:①運用中位線的性質(zhì),找出對應(yīng)相等的角;②用待定系數(shù)法,設(shè)出x,寫出關(guān)于x的代數(shù)式,化簡即可找出對應(yīng)相等的角;

          3)根據(jù)題意易知滿足條件的四邊形即為第二題的四邊形.

          1)等腰梯形(或矩形,或正方形)

          2)證法一:取AC的中點M,連接ME、MF

          ∵點EBC中點,

          EM為△ABC的中位線,

          EMAB,且EMAB

          同理FMDC,且FMDC

          ABACDCAC,

          ABDCEMFM,

          ∴∠1=∠2

          EMABFMDC,

          ∴∠2=∠4,∠1=∠3,

          ∴∠4=∠3

          ∵∠AGE+4180°,∠GEC+3180°,

          ∴∠AGE=∠GEC

          ∴四邊形AGEC是等鄰角四邊形

          證法二:連接AE

          設(shè)∠B的度數(shù)為x

          ABAC,CDCA,

          ∴∠C=∠Bx,∠190°﹣

          FAD的中點,

          AFEFAD,

          ∴∠2=∠190°﹣

          ∴∠AGE=∠B+2x+90°﹣90°+,∠GEC180°﹣(90°﹣)=90°+

          ∴∠AGE=∠GEC,

          ∴四邊形AGEC是等鄰角四邊形

          3)存在等鄰角四邊形,為四邊形AGHC

          理由:如圖,連接AE,CF交于點O

          CACD,AFDF,

          CFAD,∠ACF=∠DCF

          ABACBEEC,

          AEBC,

          ∴∠AFC=∠AEC90°,

          A,F,E,C四點共圓,

          AEF=∠ACF=∠OCH,

          ∴∠FHC=∠HEC+HCE=∠AEF+90°+HCE=∠OCH+HCE+90°=90°+OCE,

          ∵∠AGF=∠B+BEG=∠B+90°﹣∠AEG90°+ACB﹣∠ACO90°+OCE

          ∴∠AGF=∠GHC,

          ∴四邊形AGHC是等鄰角四邊形

          練習(xí)冊系列答案
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