Question

如圖，在直角坐標系內(nèi)，過點C（3，6）分別作x軸和y軸的垂線CB和CA，垂足分別為B和A，點P從點O沿OB向B以1個長度單位/秒的速度運動，點Q從點B沿BC向C以2個長度單位/秒的速度運動．如果P、Q分別從O、B同時出發(fā)，運動時間為t，試求：
（1）t為何值時，△PBQ的面積等于2個平方單位；
（2）若P、B、Q三點構(gòu)成的三角形與A、B、C三點構(gòu)成的三角形相似，求此時P和Q點的坐標．

Answer 1

分析：（1）可設(shè)OP=t，BQ=2t，則有PB=OB-OP=3-t．根據(jù)三角形的面積公式得出關(guān)于t的方程，即可求出此時t的值；
（2）分為①若△PBQ∽△ACB；②若△PBQ∽△BCA兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出P和Q點的坐標．

解答：解：（1）根據(jù)題意有OB=3，BC=6
∵OP=t，BQ=2t
∴PB=OB-OP=3-t（2分）
∴S_△PBQ=

1

2

PB•BQ=

1

2

•2t（3-t）=-t²+3t
當(dāng)S_△PBQ=2時，-t²+3t=2，即t²-3t+2=0（t-1）（t-2）=0
∴t₁=1，t₂=2（4分）
∴當(dāng)t=1或t=2時，△PBQ的面積等于2個平方單位．

（2）∵∠ACB=∠PBQ=90°
①若△PBQ∽△ACB
則

BP

CA

=

BQ

CB

即

3-t

3

=

2t

6

∴t=

3

2

此時P點坐標為P（

3

2

，0），Q點坐標為Q（3，3）（7分）
②若△PBQ∽△BCA
則

BP

CB

=

BQ

CA

即

3-t

6

=

2t

3

∴t=

3

5

此時P點坐標為P（

3

5

，0），Q點坐標為Q，3，

6

5

）（10分）
∴若P、B、Q三點構(gòu)成的三角形與A、B、C三點構(gòu)成的三角形相似，此時P和Q
點的坐標分別為P（

3

2

，0），Q（3，3）或P（

3

5

，0），Q（3，

6

5

，3）．

點評：本題主要考查了三角形的面積公式，相似三角形的性質(zhì)，要注意的是（2）中，要根據(jù)P點和Q點的不同位置進行分類求解．