Question

如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，點B、C在x軸的負(fù)半軸上，點A在y軸的負(fù)半軸上．以AC為直徑的圓與AB的延長線交于點D，弧CD=弧AO，如果AB=10，AO＞BO，且AO、BO是x的二次方程x²+kx+48=0的兩個根．
（1）求點D的坐標(biāo)；
（2）若點P在直徑AC上，且AP=

1

4

AC，判斷點（-2，-10）是否在過D、P兩點的直線上，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為AO、BO是x的二次方程x²+kx+48=0的根，所以利用根與系數(shù)的關(guān)系可得AO+BO=-k，AO•BO=48．
結(jié)合勾股定理，可得AB²=AO²+BO²即100=k²-96，解之可求k=±14，結(jié)合已知條件知-k＞0，所以k=-14，解方程就可求出AO=8，BO=6．又因AC是直徑，所以∠D=∠O=90°，又因弧CD=弧AO，所以CD=AO=8，可證△DBC≌△OBA，得到DB=OB=6，OA=CD=8，CB=AB=10，作DE⊥CO于E，則△DEB∽△AOB，利用相似三角形的對應(yīng)邊的比等于相似比，可求出DE=4.8，BE=3.6，從而求出D（-9.6，4.8）．
（2）利用勾股定理求出AC=8

5

，則AP=

1

4

AC=2

5

，
作PF⊥OC于F，則△PCF∽△ACO，所以

PE

AO

=

PC

AC

=

CF

CB+BO

，進而可求出PF=6，CF=12，OF=16-12=4，P（-4，-6），
再利用待定系數(shù)法即可求出PD的解析式．
令x=-2，則y=-

69

7

驗證，看點（-2，-10）是否在過D、P兩點的直線上．

解答：解：（1）∵AO、BO是x的二次方程x²+kx+48=0的根，
∴AO+BO=-k，AO•BO=48，
∵AB=10，∠O=90°，
∴AB²=AO²+BO²，
∴100=k²-96，
∴k=±14，
∵-k＞0
∴k=-14，
∴x²-14x+48=0，
∴x=6，x=8，
∵AO＞BO，
∴AO=8，BO=6，
∵AC是直徑，
∴∠CDA=∠COA=90°，
∵弧CD=弧AO，
∴CD=AO=8．
∵∠DBC=∠OBA，
∴△DBC≌△OBA，
∴DB=OB=6，OA=CD=8，CB=AB=10，
作DE⊥CO于E，則△DEB∽△AOB，
∴

DE

OA

=

DB

AB

=

BE

OB

∴

DE

8

=

6

10

=

BE

6

∴DE=4.8，BE=3.6，
∴OE=3.6+6=9.6，D（-9.6，4.8）．

（2）∵AD=DB+AB=6+10=16，CD=8，∠ADC=90°，
∴AC=8

5

，
∴AP=

1

4

AC=2

5

．
作PF⊥OC于F，則△PCF∽△ACO．
∴

PE

AO

=

PC

AC

=

CF

CB+BO

∴

PF

8

=

3

4

=

CF

16

∴PF=6，CF=12，OF=16-12=4，
∴P（-4，-6），
又因D（-9.6，4.8），
所以設(shè)PD的解析式為y=kx+b，
∴

-6=-4k+b 4.8=-9.6k+b

∴

k=- 27 14 b=- 96 7

∴y=-

27x

14

-

96

7

令x=-2，則y=-

69

7

．
所以點（-2，-10）不在過D、P兩點的直線上．

點評：本題需利用待定系數(shù)法和相似三角形的性質(zhì)來解決問題，還考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，綜合性較強，難度比較大．