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        1. 【題目】如圖,在矩形ABCD中,把B,D分別翻折,使點B,D分別落在對角線AC上的點E,F(xiàn)處,折痕分別為CM,AN.

          (1)求證:AND≌△CMB;

          (2)連接MF、NE,證明四邊形MFNE是平行四邊形;四邊形MFNE是菱形嗎?請說明理由;

          (3)點P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點,連接PQ、CQ、MN,如圖2所示,若PQ=CQ,PQMN,且AB=4,BC=3,DN=,求PC的長度.

          【答案】見解析

          【解析】

          試題分析:(1)根據(jù)折疊的性質得出DAN=NAC,BCM=ACM,從而根據(jù)ADBC可得出DAN=BCM,從而即可判斷出ADN≌△CBM.

          (2)連接NE、MF,根據(jù)(1)的結論可得出NF=ME,再由NFE=MEF可判斷出NFME,在直角三角形NFE中,NE為斜邊,NF為直角邊,可判斷四邊形MFNE不是菱形.

          (3)設AC與MN的交點為O,EF=x,作QGPC于G點,首先求出AC=5,根據(jù)翻折變換知:AF=CE=3,于是可得AF+(CE﹣EF)=5,可得EF=1,在RtNFE中,NO2=NF2+OF2,求出NO的長,即NM=PQ=QC=2NO,PC=2

          (1)證明:四邊形ABCD是正方形,

          AD=BC,B=D=90°,

          由折疊的性質得出DAN=NAC,BCM=ACM,

          ADBC,

          ∴∠DAC=BCA,

          ∴∠DAN=BCM,

          在RtAND和RtCMB中,

          ∵∴△AND≌△CMB(AAS)

          (2)解:由(1)得:AND≌△CMB,

          NF=ME,

          ∵∠NFE=MEF,

          NFME,

          四邊形MFNE是平行四邊形,

          MN與EF不垂直,

          四邊形MFNE不是菱形;

          (3)解:設AC與MN的交點為O,EF=x,作QGPC于G點,如圖所示:

          AB=4,BC=3,

          AC=5,

          AF=CE=BC=3,

          2AF﹣EF=AC,即6﹣x=5,

          解得:x=1,

          EF=1,

          CF=2,

          由折疊的性質得:NF=DN=,

          OE=OF=EF=,

          在RtNFO中,ON2=OF2+NF2,

          ON=

          MN=2ON=,

          PQMN,PNMQ,

          四邊形MQPN是平行四邊形,

          MN=PQ=,

          PQ=CQ,

          ∴△PQC是等腰三角形,

          PG=CG,

          在RtQPG中,PG2=PQ2﹣QG2,

          PG==1,

          PC=2PG=2.

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