Question

【題目】若順次連結(jié)四邊形ABCD各邊中點(diǎn)所得四邊形是矩形，則原四邊形必定是（ ）
A.正方形
B.對(duì)角線相等的四邊形
C.菱形
D.對(duì)角線相互垂直的四邊形

Answer 1

【答案】D
【解析】證明：∵四邊形EFGH是矩形， ∴∠FEH=90°，
又∵點(diǎn)E、F、分別是AD、AB、各邊的中點(diǎn)，
∴EF是三角形ABD的中位線，
∴EF∥BD，
∴∠FEH=∠OMH=90°，
又∵點(diǎn)E、H分別是AD、CD各邊的中點(diǎn)，
∴EH是三角形ACD的中位線，
∴EH∥AC，
∴∠OMH=∠COB=90°，
即AC⊥BD．
故選D．

這個(gè)四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD的關(guān)系是互相垂直．理由為：根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，如圖所示，由四邊形EFGH為矩形，根據(jù)矩形的四個(gè)角為直角得到∠FEH=90°，又EF為三角形ABD的中位線，根據(jù)中位線定理得到EF與DB平行，根據(jù)兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)得到∠EMO=90°，同理根據(jù)三角形中位線定理得到EH與AC平行，再根據(jù)兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)得到∠AOD=90°，根據(jù)垂直定義得到AC與BD垂直．