Question

（2012•普陀區(qū)一模）在平面直角坐標系中，△ABC的頂點分別是A（-1，0），B（3，0），C（0，2），已知動直線y=m（0＜m＜2）與線段AC、BC分別交于D、E兩點，而在x軸上存在點P，使得△DEP為等腰直角三角形，那么m的值等于

4

3

或1

．

Answer 1

分析：因為△ABC的頂點分別為A（-1，0），B（3，0），C（0，2），動直線y=m（0＜m＜2）與線段AC，BC分別交于D，E，要使△DEP為等腰直角三角形，（1）DE=EP，（或DP），∠DEP（或∠EDP）=90°或（2）PD=PE，∠EPD=90°，由直線方程和等腰直角三角形的性質及勾股定理求解．

解答：解：△DEP為等腰直角三角形分兩種情況：
（1））DE=EP，（或DP），∠DEP（或∠EDP）=90°時，
設D（x₁，m），E（x₂，m），
∴(x1-x2) 2=m²，
由已知得CA方程：y=2x+2，
∴x₁=

m-2

2

=

m

2

-1，
CB方程：y=-

2

3

x+2，
∴x₂=-

3(m-2)

2

=-

3m

2

+3，
∴得：4（m-2）²=m²，
解得：m₁=

4

3

，m₂=4（與0＜m＜2不符舍去），
∴m=

4

3

；

（2）PD=PE，∠EPD=90°時，
則(

x2-x1

2

)2=m²，
∴( x2-x1)2=4m²，
∴4（m-2）²=4m²，
解得：m=1，
綜上：當m=

4

3

或m=1時，△DEP為等腰直角三角形，故答案為：

4

3

或1．

點評：此題考查的知識點是等腰直角三角形的性質運用及坐標與圖形的性質，關鍵是確定等腰直角三角形的兩種情況，然后分別求解．