Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（3，0），現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A，B分別向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度，分別得到點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D，連接AC，BD，CD．

（1）求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)及S四邊形ABDC；

（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)Q，連接QA，QB，使S△QAB＝S四邊形ABDC若存在這樣一點(diǎn)，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由；

（3）如圖②，點(diǎn)P是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC，PO，當(dāng)點(diǎn)P在BD上移動(dòng)時(shí)（不與B，D重合），求證：∠DCP+∠BOP＝∠CPO．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)C（0，2），點(diǎn)D（4，2），S四邊形ABDC＝8；（2）存在；Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）或（0，﹣4）；（3）見解析．

【解析】

（1）根據(jù)平移的性質(zhì)求出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，再證明四邊形ABDC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的面積公式求解即可；

（2）設(shè)Q坐標(biāo)為（0，m），列出方程求出m的值即可；

（3）作PE∥CD，根據(jù)平移的性質(zhì)可得CD∥PE∥AB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證明∠DCP+∠BOP＝∠CPO．

（1）∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（3，0），將點(diǎn)A，B分別向上平移2個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度，分別得到點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D，

∴點(diǎn)C（0，2），點(diǎn)D（4，2），AB＝4，AB∥CD，AB＝CD，

∴OC＝2，四邊形ABDC是平行四邊形，

∴S四邊形ABDC＝4×2＝8；

（2）設(shè)Q坐標(biāo)為（0，m），

∴×4×|m|＝8，

解得m＝±4

∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）或（0，﹣4）；

（3）如圖，作PE∥CD，

由平移可知：CD∥AB，

∴CD∥PE∥AB，

∴∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，

∴∠DCP+∠BOP＝∠EPC+∠EPO＝∠CPO．