Question

【題目】在矩形中，，，分別以，所在直線為軸和軸建立如圖所示的平面直角坐標系，是上的一個動點（不與、重合），過點的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點，連接，，．

（1）若，求點的坐標；

（2）當點在上移動時，與的面積差記為，求當為何值時，有最大值，最大值是多少？

（3）是否存在這樣的點，使得為直角三角形？若存在，求出此時點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，有最大值，S最大值；（3）存在，

【解析】

（1）由OA與OB的長，根據(jù)C位于第一象限點，即可確定出C的坐標，再求出BF的長即可解決問題；

（2）應分別用矩形面積和能用圖中的點表示出的三角形的面積表示出所求的面積，利用二次函數(shù)求出最值即可．

（3）存在這樣的點F，使得△OEF為直角三角形，理由為：由∠EOF為銳角，不可能為直角，設BF=a，由OB=6，得到F（6，a），代入反比例解析式得：k=6a；由OA=4，得到4AE=k=6a，即AE=AE=1.5a，EC=AC-AE=6-1.5a，CF=BC-BF=4-a；分兩種情況考慮：當∠OEF為直角時，得到三角形AOE與三角形ECF相似，由相似得比例，將各自的值代入列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值；當∠OFE為直角時，同理求出a的值，經(jīng)檢驗不合題意，綜上得到滿足題意a的值．

解：（1），，且在第一象限，

的坐標為；

，

，

，

故答案為：；

（2）解：，兩點坐標分別為，，，

，

，

，

，

，

，

，

當時，有最大值．

．

（3）存在，理由為：

設，由，得到，代入反比例函數(shù)解析式得：；

由，得到，即，

，，

由為銳角，不可能為直角，

故分兩種情況討論：

①當時，可得，

又，且，

，

，即，

整理得，

解得：，，

；

②當時，同理：，

，即，

整理得，

解得，均不合題意，

，

綜上所述，當時，為直角三角形．