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        1. 請閱讀下列材料:
          問題:如圖1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,點A,B,E在同一條直線上,P是線段DF的中點,連接PG,PC.若∠ABC=∠BEF=60°,探究PG與PC的位置關系及
          PG
          PC
          的值.
          小聰同學的思路是:延長GP交DC于點H,構造全等三角形,經(jīng)過推理使問題得到解決.請你參考小聰同學的思路,探究并解決下列問題:
          (1)寫出上面問題中線段PG與PC的位置關系及
          PG
          PC
          的值;
          (2)將圖1中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉,使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上,原問題中的其他條件不變(如圖2).你在(1)中得到的兩個結論是否發(fā)生變化?寫出你的猜想并加以證明;
          (3)若圖1中∠ABC=∠BEF=2α(0°<α<90°),將菱形BEFG繞點B順時針旋轉任意角度,精英家教網(wǎng)原問題中的其他條件不變,請你直接寫出
          PG
          PC
          的值(用含α的式子表示).
          分析:(1)根據(jù)題意可知小聰?shù)乃悸窞,通過判定三角形DHP和PGF為全等三角形來得出證明三角形HCG為等腰三角形且P為底邊中點的條件;
          (2)思路同上,延長GP交AD于點H,連接CH,CG,本題中除了如(1)中證明△GFP≌△HDP(得到P是HG中點)外還需證明△HDC≌△GBC(得出三角形CHG是等腰三角形).
          (3)∠ABC=∠BEF=2α(0°<α<90°),那么∠PCG=90°-α,由(1)可知:PG:PC=tan(90°-α).
          解答:解:(1)∵CD∥GF,∠PDH=∠PFG,∠DHP=∠PGF,DP=PF,
          ∴△DPH≌△FGP,
          ∴PH=PG,DH=GF,
          ∵CD=BC,GF=GB=DH,
          ∴CH=CG,
          ∴CP⊥HG,∠ABC=60°,
          ∴∠DCG=120°,
          ∴∠PCG=60°,
          ∴PG:PC=tan60°=
          3
          ,
          ∴線段PG與PC的位置關系是PG⊥PC,
          PG
          PC
          =
          3
          ;


          (2)猜想:(1)中的結論沒有發(fā)生變化.
          證明:如圖2,延長GP交AD于點H,連接CH,
          ∵P是線段DF的中點,
          ∴FP=DP,
          ∵AD∥GF,
          ∴∠HDP=∠GFP,
          ∵∠GPF=∠HPD,
          ∴△GFP≌△HDP(ASA),
          ∴GP=HP,GF=HD,
          ∵四邊形ABCD是菱形,
          ∴CD=CB,∠HDC=∠ABC=60°,精英家教網(wǎng)
          ∵∠ABC=∠BEF=60°,菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上,
          ∴∠GBF=60°,
          ∴∠HDC=∠GBF,
          ∵四邊形BEFG是菱形,
          ∴GF=GB,
          ∴HD=GB,
          ∴△HDC≌△GBC,
          ∴CH=CG,∠HCD=∠GCB
          ∴PG⊥PC(到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上)
          ∵∠ABC=60°
          ∴∠DCB=∠HCD+∠HCB=120°
          ∵∠HCG=∠HCB+∠GCB
          ∴∠HCG=120°
          ∴∠GCP=60°
          PG
          PC
          =tan∠GCP=tan60°=
          3
          ;

          (3)∵∠ABC=∠BEF=2α(0°<α<90°),
          ∴∠PCG=90°-α,
          由(1)可知:PG:PC=tan(90°-α),
          PG
          PC
          =tan(90°-α).
          點評:本題是一道探究性的幾何綜合題,主要考查菱形的性質(zhì),全等三角形的判定及三角函數(shù)的綜合運用.
          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:閱讀理解

          請閱讀下列材料:
          問題:解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0.
          明明的做法是:將x2-1視為一個整體,然后設x2-1=y,則(x2-1)2=y2,原方程可化為y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.
          (1)當y=1時,x2-1=1,解得x=±
          2

          (2)當y=4時,x2-1=4,解得x=±
          5

          綜合(1)(2),可得原方程的解為x1=
          2
          ,  x2=-
          2
          ,  x3=
          5
          ,  x4=-
          5

          請你參考明明同學的思路,解方程x4-x2-6=0.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:閱讀理解

          請閱讀下列材料:
          問題:已知方程x2+x-1=0,求一個一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的2倍.
          解:設所求方程的根為y,則y=2x所以x=
          y
          2

          把x=
          y
          2
          代入已知方程,得(
          y
          2
          2+
          y
          2
          -1=0
          化簡,得y2+2y-4=0
          故所求方程為y2+2y-4=0.
          這種利用方程根的代換求新方程的方法,我們稱為“換根法”.
          請用閱讀村料提供的“換根法”求新方程(要求:把所求方程化為一般形式):
          (1)已知方程x2+x-2=0,求一個一元二次方程,使它的根分別為己知方程根的相反數(shù),則所求方程為:
           
          ;
          (2)己知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不等于零的實數(shù)根,求一個一元二次方程,使它的根分別是己知方程根的倒數(shù).

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:閱讀理解

          (2013•貴陽模擬)請閱讀下列材料:
          問題:如圖1,圓柱的底面半徑為1dm,BC是底面直徑,圓柱高AB為5dm,求一只螞蟻從點A出發(fā)沿圓柱表面爬行到點C的最短路線,小明設計了兩條路線:
          路線1:高線AB+底面直徑BC,如圖1所示.路線2:側面展開圖中的線段AC,如圖2所示.(結果保留π)

          (1)設路線1的長度為L1,則L12=
          49
          49
          .設路線2的長度為L2,則L22=
          25+π2
          25+π2
          .所以選擇路線
          2
          2
          (填1或2)較短.
          (2)小明把條件改成:“圓柱的底面半徑為5dm,高AB為1dm”繼續(xù)按前面的路線進行計算.此時,路線1:L12=
          121
          121
          .路線2:L22=
          1+25π2
          1+25π2
          .所以選擇路線
          1
          1
          (填1或2)較短.
          (3)請你幫小明繼續(xù)研究:當圓柱的底面半徑為2dm,高為hdm時,應如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點A出發(fā)沿圓柱表面爬行到點C的路線最短.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:閱讀理解

          請閱讀下列材料:問題:已知方程x2+x-3=0,求一個一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的2倍
          解:設所求方程的根為y,則y=2x,
          所以x=
          y
          2

          把x=
          y
          2
          代入已知方程,得
          (
          y
          2
          )2+
          y
          2
          -3=0

          化簡,得y2+2y-12=0故所求方程為y2+2y-12=0.
          這種利用方程根的代換求新方程的方法,我們稱為“換根法”.
          (1)已知方程x2+x-1=0,求一個一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的3倍,則所求方程為
          y2+3y-9=0
          y2+3y-9=0

          (2)已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不等于零的實數(shù)根,求一個一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的倒數(shù);
          (3)已知關于x的方程x2-mx+n=0有兩個實數(shù)根,求一個方程,使它的根分別是已知方程根的平方.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:閱讀理解

          請閱讀下列材料:
          問題:正方形ABCD中,M,N分別是直線CB、DC上的動點,∠MAN=45°,當∠MAN交邊CB、DC于點M、N(如圖①)時,線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關系?
          小聰同學的思路是:延長CB至E使BE=DN,并連接AE,構造全等三角形經(jīng)過推理使問題得到解決.請你參考小聰同學的思路,探究并解決下列問題:
          (1)直接寫出上面問題中,線段BM,DN和MN之間的數(shù)量關系;
          (2)當∠MAN分別交邊CB,DC的延長線于點M/N時(如圖②),線段BM,DN和MN之間的又有怎樣的數(shù)量關系?請寫出你的猜想,并加以證明;
          (3)在圖①中,若正方形的邊長為16cm,DN=4cm,請利用(1)中的結論,試求MN的長.

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