Question

請(qǐng)閱讀下列材料：
問題：如圖1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點(diǎn)A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點(diǎn)，連接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG與PC的位置關(guān)系及

PG

PC

的值．
小聰同學(xué)的思路是：延長(zhǎng)GP交DC于點(diǎn)H，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決．請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：
（1）寫出上面問題中線段PG與PC的位置關(guān)系及

PG

PC

的值；
（2）將圖1中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的對(duì)角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）．你在（1）中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明；
（3）若圖1中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），將菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問題中的其他條件不變，請(qǐng)你直接寫出

PG

PC

的值（用含α的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可知小聰?shù)乃悸窞�，通過判定三角形DHP和PGF為全等三角形來(lái)得出證明三角形HCG為等腰三角形且P為底邊中點(diǎn)的條件；
（2）思路同上，延長(zhǎng)GP交AD于點(diǎn)H，連接CH，CG，本題中除了如（1）中證明△GFP≌△HDP（得到P是HG中點(diǎn)）外還需證明△HDC≌△GBC（得出三角形CHG是等腰三角形）．
（3）∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），那么∠PCG=90°-α，由（1）可知：PG：PC=tan（90°-α）．

解答：解：（1）∵CD∥GF，∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，DP=PF，
∴△DPH≌△FGP，
∴PH=PG，DH=GF，
∵CD=BC，GF=GB=DH，
∴CH=CG，
∴CP⊥HG，∠ABC=60°，
∴∠DCG=120°，
∴∠PCG=60°，
∴PG：PC=tan60°=

3

，
∴線段PG與PC的位置關(guān)系是PG⊥PC，

PG

PC

=

3

；


（2）猜想：（1）中的結(jié)論沒有發(fā)生變化．
證明：如圖2，延長(zhǎng)GP交AD于點(diǎn)H，連接CH，
∵P是線段DF的中點(diǎn)，
∴FP=DP，
∵AD∥GF，
∴∠HDP=∠GFP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP（ASA），
∴GP=HP，GF=HD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°，
∵∠ABC=∠BEF=60°，菱形BEFG的對(duì)角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，
∴∠GBF=60°，
∴∠HDC=∠GBF，
∵四邊形BEFG是菱形，
∴GF=GB，
∴HD=GB，
∴△HDC≌△GBC，
∴CH=CG，∠HCD=∠GCB
∴PG⊥PC（到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上）
∵∠ABC=60°
∴∠DCB=∠HCD+∠HCB=120°
∵∠HCG=∠HCB+∠GCB
∴∠HCG=120°
∴∠GCP=60°
∴

PG

PC

=tan∠GCP=tan60°=

3

；

（3）∵∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），
∴∠PCG=90°-α，
由（1）可知：PG：PC=tan（90°-α），
∴

PG

PC

=tan（90°-α）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道探究性的幾何綜合題，主要考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定及三角函數(shù)的綜合運(yùn)用．