Question

在兩千多年前我國(guó)古算術(shù)上記載有“勾三股四弦五”，你知道它的意思嗎？
它的意思是說(shuō)：如果一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為3和4個(gè)長(zhǎng)度單位，那么它的斜邊的長(zhǎng)一定是5個(gè)長(zhǎng)度單位，而且3、4、5這三個(gè)數(shù)有這樣的關(guān)系：3²+4²=5²．
（1）請(qǐng)你動(dòng)動(dòng)腦筋，能否驗(yàn)證這個(gè)事實(shí)呢？該如何考慮呢？
（2）請(qǐng)你觀察下列圖形，直角三角形ABC的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為AC=7，BC=4，請(qǐng)你研究這個(gè)直角三角形的斜邊AB的長(zhǎng)的平方是否等于4²+7²？

Answer 1

解：（1）邊長(zhǎng)的平方即以此邊長(zhǎng)為邊的正方形的面積，故可通過(guò)面積驗(yàn)證．分別以這個(gè)直角三角形的三邊為邊向外作正方形，如圖：AC=4，BC=3，

S_{正方形ABED}=S_{正方形FCGH}-4S_Rt△ABC
=（3+4）²-4××3×4
=7²-24
=25，
即AB²=25，
又∵AC=4，BC=3，
AC²+BC²=4²+3²=25
∴AB²=AC²+BC²．

（2）如圖（圖見題干中圖）
S_{正方形ABED}=S_{正方形KLCJ}-4S_Rt△ABC=（4+7）²-4××4×7=121-56=65=4²+7²．
分析：（1）邊長(zhǎng)的平方即以此邊長(zhǎng)為邊的正方形的面積，故可通過(guò)面積驗(yàn)證．分別以這個(gè)直角三角形的三邊為邊向外做正方形，求出三個(gè)正方形的面積，即可證明；
（2）關(guān)鍵是計(jì)算S_{正方形ABED}=S_{正方形KLCJ}-4S_Rt△ABC再加以驗(yàn)證即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要是根據(jù)正方形的面積公式證明勾股定理，需掌握．