Question

已知等腰△ABC中，AD⊥BC于點D，且AD=BC，則△ABC底角的度數(shù)為(     )

A．45°   B．75°

C．45°或15°或75°      D．60°

Answer 1

C【考點】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)；等腰直角三角形．

【專題】幾何圖形問題；分類討論．

【分析】作出圖形，分①點A是頂點時，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BD=CD，從而得到AD=BD=CD，再利用等邊對等角的性質(zhì)可得∠B=∠BAD，然后利用直角三角形兩銳角互余求解即可；

②點A是底角頂點時，再分AD在△ABC外部時，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出∠ACD=30°，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求解即可得到底角是15°，AD在△ABC內(nèi)部時，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出∠C=30°，然后再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求解即可．

【解答】解：①如圖1，點A是頂點時，∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，

∵AD=BC，

∴AD=BD=CD，

在Rt△ABD中，∠B=∠BAD=（180°﹣90°）=45°；

②如圖2，點A是底角頂點，且AD在△ABC外部時，

∵AD=BC，AC=BC，

∴AD=AC，

∴∠ACD=30°，

∴∠BAC=∠ABC=×30°=15°；

③如圖3，點A是底角頂點，且AD在△ABC內(nèi)部時，

∵AD=BC，AC=BC，

∴AD=AC，

∴∠C=30°，

∴∠BAC=∠ABC=（180°﹣30°）=75°；

綜上所述，△ABC底角的度數(shù)為45°或15°或75°．

故選C．

【點評】本題考查了30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形的兩底角相等的性質(zhì)，以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，難點在于要分情況討論求解．