Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1，4)，點(diǎn)B(3，2)，連接OA，OB．

（1）求直線(xiàn)OB與AB的解析式；

（2）求△AOB的面積．

（3）下面兩道小題，任選一道作答．作答時(shí)，請(qǐng)注明題號(hào)，若多做，則按首做題計(jì)入總分．

①在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PAB周長(zhǎng)最小．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

②在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)C，使以A，O，C，B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線(xiàn)OB的解析式為，直線(xiàn)AB的解析式為y= -x+5（2）5；（3）①存在，(0，)；②存在，(2，-2)或(4，6)或(-2，2)

【解析】

（1）根據(jù)題意分別設(shè)出兩直線(xiàn)的解析式，代入直線(xiàn)上兩點(diǎn)坐標(biāo)即可求出直線(xiàn)OB與AB的解析式；

（2）延長(zhǎng)線(xiàn)段AB交x軸于點(diǎn)D，求出D的坐標(biāo)，分別求出、由即可求得；

（3）①根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，A、B在y軸同側(cè)，作出點(diǎn)A關(guān)于y的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接B與y軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P；

②使以A，O，C，B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則分三種情況分析，分別以OA、AB、OB為對(duì)角線(xiàn)作出平行四邊形，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式代入求解即可．

解：（1）設(shè)直線(xiàn)OB的解析式為y=mx，

∵點(diǎn)B(3，2)，

∴ ，

∴直線(xiàn)OB的解析式為，

設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b，

根據(jù)題意可得：

解之得

∴直線(xiàn)AB的解析式為y= -x+5．

故答案為：直線(xiàn)OB的解析式為，直線(xiàn)AB的解析式為y= -x+5；

（2）如圖，延長(zhǎng)線(xiàn)段AB交x軸于點(diǎn)D，

當(dāng)y=0時(shí)，-x+5=0，x=5，

∴點(diǎn)D橫坐標(biāo)為5，OD=5，

∴，

∴，

故答案為：5．

（3）①存在，(0，)；

過(guò)點(diǎn)A作y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接B，交y軸與點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為使△PAB周長(zhǎng)最小的點(diǎn)，

由作圖可知，點(diǎn)坐標(biāo)為，又點(diǎn)B（3，2）

則直線(xiàn)B的解析式為：，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為，

故答案為：；

②存在． 或或．

有三種情況，如圖所示：設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為，

當(dāng)平行四邊形以AO為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，AO的中點(diǎn)坐標(biāo)和BC中點(diǎn)坐標(biāo)相同，

∴

解得

∴點(diǎn)坐標(biāo)為，

當(dāng)平行四邊形以AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和OC的中點(diǎn)坐標(biāo)相同，則

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

當(dāng)平行四邊形以BO為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，BO的中點(diǎn)坐標(biāo)和AC的中點(diǎn)坐標(biāo)相同，則

解得

∴點(diǎn)坐標(biāo)為，

故答案為：存在，或或．