Question

【題目】已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，D為線段CB上一點（不與C，B重合），點E為射線CA上一點，∠ADE=∠AED，設∠BAD=α，∠CDE=β．
（1）如圖（1），
①若∠BAC=42°，∠DAE=30°，則α= ， β= ．
②若∠BAC=54°，∠DAE=36°，則α= ， β= ．
③寫出α與β的數(shù)量關系，并說明理由；
（2）如圖（2），當E點在CA的延長線上時，其它條件不變，請直接寫出α與β的數(shù)量關系．

Answer 1

【答案】
（1）12°；6°；18°；9°
（2）

解：α=2β﹣180°，理由是：

如圖（2），設∠E=x°，則∠DAC=2x°，

∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=α+2x°，

∴∠B=∠ACB= ，

∵∠ADC=∠B+∠BAD，

∴β﹣x°= +α，

∴α=2β﹣180°．

【解析】解：（1）①∵∠DAE=30°，
∴∠ADE+∠AED=150°，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∵∠BAC=42°，
∴α=42°﹣30°=12°，
∴∠ACB=∠B= =69°，
∵∠ADC=∠B+α，
∴75°+β=69°+12°，
β=6°；
所以答案是：12°，6°；
②∵∠DAE=36°，
∴∠ADE+∠AED=144°，
∴∠ADE=∠AED=72°，
∵∠BAC=54°，
∴α=54°﹣36°=18°，
∴∠ACB=∠B= =63°，
∵∠ADC=∠B+α，
∴72°+β=63°+18°，
β=9°；
所以答案是：18°，9°；
③α=2β，理由是：
如圖（1），設∠BAC=x°，∠DAE=y°，則α=x°﹣y°，
∵∠ACB=∠ABC，
∴∠ACB= ，
∵∠ADE=∠AED，
∴∠AED= ，
∴β+∠ADE=α+∠ABC，
β+ =α+ ，
∴α=2β；
【考點精析】通過靈活運用三角形的“三線”，掌握1、三角形角平分線的三條角平分線交于一點(交點在三角形內部，是三角形內切圓的圓心，稱為內心);2、三角形中線的三條中線線交于一點(交點在三角形內部，是三角形的幾何中心，稱為中心);3、三角形的高線是頂點到對邊的距離；注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內即可以解答此題．