Question

【題目】如圖，中，，，，點(diǎn)，分別在邊，上，將沿直線折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，且．

（1）求的長(zhǎng)；

（2）點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，，的面積與的面積相等，

①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求的長(zhǎng)；

②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，________；

（3）將直線平移，平移后的直線與直線，直線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，以線段為一邊作正方形，點(diǎn)與點(diǎn)在直線兩側(cè)，連接當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②；（3）．

【解析】

（1）如圖1中，連接DF，在Rt△DCF中，利用勾股定理，構(gòu)建方程即可解決問題．

（2）①如圖2-1中，當(dāng)DG∥BC時(shí)，S△DGC=S△DGB．設(shè)BG=x．利用平行線分線段成比例定理即可解決問題．

②如圖2-2中，當(dāng)點(diǎn)G在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，證明AB=2AG時(shí)，滿足條件．

（3）如圖3中，當(dāng)PD∥BC時(shí)，作QK⊥BC于K．利用全等三角形以及相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．

解：（1）如圖1中，連接DF，

∵將△ABC沿直線EF折疊，點(diǎn)B恰好落在AC邊上的點(diǎn)D處

∴DF=BF

在Rt△DCF中，DF2=DC2+CF2，

∴（6-CF）2=9+CF2，

∴CF=．

（2）①如圖2-1中，當(dāng)DG∥BC時(shí)，S△DGC=S△DGB．設(shè)BG=x．

在Rt△ACB中，AC=4，BC=6，

∴AB=，

∵DG∥BC，

∴，

∴，

∴x=．

②如圖2-2中，當(dāng)點(diǎn)G在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，

∵CD=3AD，

∴S△GDC=3S△GAD，

∴當(dāng)S△ADB=2S△ADG時(shí)，S△GDC=S△GBD，

∴AB=2AG，

∴AG=，

∴GB=3.

綜上：GB=或；

（3）如圖3中，當(dāng)PD∥BC時(shí)，作QK⊥BC于K．

∵四邊形MNPQ是正方形，

∴易證△PDN≌△NCM≌△MKA，

∴KQ=CM=DN，KM=CN=PD，

∵△PDN∽△BCD，

∴，

∴，

∴PD=2DN，

∴CN=2DN，

∴DN=1，CN=2，

∴KQ=DN=CM=1，KM=CN=2，

∴BK=9，

∴tan∠QBC=．