Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線y=ax2+bx（a＞0），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和x軸正半軸上的點(diǎn)B，AO=OB=2，∠AOB=120°．

（1）求這條拋物線的表達(dá)式；

（2）連接OM，求∠AOM的大小；

（3）如果點(diǎn)C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣x；(2) ∠AOM=150°；(3)點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（4，0）或（8，0）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，以及B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；（2）根據(jù)（1）中解析式求出M點(diǎn)坐標(biāo)，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出∠FOM=30°，進(jìn)而得出答案；（3）分別根據(jù)當(dāng)△ABC1∽△AOM以及當(dāng)△C2BA∽△AOM時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)求出C點(diǎn)坐標(biāo)即可．

試題解析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，

∵AO=OB=2，∠AOB=120°，

∴∠AOE=30°，

∴OE= ，AE=1，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣1，），B點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，0），

將兩點(diǎn)代入y=ax2+bx得：

，

解得： ，

∴拋物線的表達(dá)式為：y=x2﹣x；

（2）過(guò)點(diǎn)M作MF⊥OB于點(diǎn)F，

∵y=x2﹣x=（x2﹣2x）=（x2﹣2x+1﹣1）=（x﹣1）2﹣，

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，﹣），

∴tan∠FOM= =，

∴∠FOM=30°，

∴∠AOM=30°+120°=150°；

（3）當(dāng)點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上時(shí)，則∠BAC=150°，而∠ABC=30°，此時(shí)∠C=0°，故此種情況不存在；

當(dāng)點(diǎn)C在x軸正半軸上時(shí)，

∵AO=OB=2，∠AOB=120°，

∴∠ABO=∠OAB=30°，

∴AB=2EO=2，

當(dāng)△ABC1∽△AOM，

∴ ，

∵MO==，

∴ ，

解得：BC1=2，∴OC1=4，

∴C1的坐標(biāo)為：（4，0）；

當(dāng)△C2BA∽△AOM，

∴ ，

∴ ，

解得：BC2=6，∴OC2=8，

∴C2的坐標(biāo)為：（8，0）．

綜上所述，△ABC與△AOM相似時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（4，0）或（8，0）．