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        1. 【題目】14分)定義:底與腰的比是的等腰三角形叫做黃金等腰三角形.

          如圖,已知ABC中,AB=BC,C=36°,BA1平分ABC交AC于A1

          (1)=AA1A C;

          (2)探究:ABC是否為黃金等腰三角形?請說明理由;(提示:此處不妨設(shè)AC=1)

          (3)應(yīng)用:已知AC=a,作A1B1AB交BC于B1,B1A2平分A1B1C交AC于A2,作A2B2AB交B2,B2A3平分A2B2C交AC于A3,作A3B3AB交BC于B3,…,依此規(guī)律操作下去,用含a,n的代數(shù)式表示An﹣1An.(n為大于1的整數(shù),直接回答,不必說明理由)

          【答案】(1)證明見試題解析;(2)ABC是黃金等腰三角形;(3)

          【解析】

          試題分析:(1)角平分線的性質(zhì)相似三角形的判定與性質(zhì),得到ABC∽△AA1B,從而有,求出即可;

          (2)設(shè)AC=1,AB2=1﹣AB,求出AB的值,進(jìn)而得出=,即可得出結(jié)論;

          (3)利用(2)中所求進(jìn)而得出AA1,A1A2的長,進(jìn)而得出其長度變化規(guī)律求出即可.

          試題解析:(1)AC=BC,C=36°,∴∠A=ABC=72°,BA1平分ABC,∴∠ABA1=ABC=36°,∴∠C=ABA1,又∵∠A=A,∴△ABC∽△AA1B,,即=AA1A C;

          (2)ABC是黃金等腰三角形,理由:

          由(1)知,=AA1A C,設(shè)AC=1,=AA1,又由(1)可得:AB=A1B,∵∠A1BC=C=36°,A1B=A1C,AB=A1C,AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=1﹣AB,=1﹣AB,設(shè)AB=x,即,解得:,(不合題意舍去),AB=,又AC=1,=∴△ABC是黃金等腰三角形;

          (3)由(2)得;當(dāng)AC=a,則AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=a﹣AB==,

          同理可得:A1A2=A1C﹣A1B1=AC﹣AA1﹣A1B1

          ===;

          故An﹣1An=

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