Question

如圖1，A、B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN．橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

【問題解決】

如圖2，過點(diǎn)B作BB′⊥l₂，且BB′等于河寬，連接AB′交l₁于點(diǎn)M，作MN⊥l₁交l₂于點(diǎn)N，則MN就為橋所在的位置．

【類比聯(lián)想】

（1）如圖3，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別在AB、BC、CD上，且AF⊥GE，求證：AF=EG．

（2）如圖4，矩形ABCD中，AB=2，BC=x，點(diǎn)E、F、G、H分別在AB、BC、CD、AD上，且EG⊥HF，設(shè)y=，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

【拓展延伸】

如圖5，一架長5米的梯子斜靠在豎直的墻面OE上，初始位置時OA=4米，由于地面OF較光滑，梯子的頂端A下滑至點(diǎn)C時，梯子的底端B左滑至點(diǎn)D，設(shè)此時AC=a米，BD=b米．

（3）當(dāng)a=　1　 米時，a=b．

（4）當(dāng)a在什么范圍內(nèi)時，a＜b？請說明理由．

Answer 1

【考點(diǎn)】四邊形綜合題．

【分析】（1）過點(diǎn)作BH∥EG交CD于點(diǎn)H，由ASA定理得出△ABF≌△BCH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；

（2）作BM∥GE交CD于點(diǎn)M，作AN∥HF交BC于點(diǎn)N，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和四邊形ABCD是矩形，由相似三角形的性質(zhì)得出△ABN∽△BCM，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)勾股定理得到（4﹣a）²+（3+b）²=5²，根據(jù)a=b解方程即可；

（4）過點(diǎn)B作DC的平行線，過點(diǎn)C作OF的平行線，兩線交于點(diǎn)P，連接AP，由題意可得DBPC為平行四邊形，故可得出∠BAP=∠3+∠1=∠BPA=∠4+∠2．若a＜b，即AC＜BD=CP，因而在△ACP中，由等邊對等角可知∠3＜∠5，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．

【解答】解：（1）作BH∥EG交CD于點(diǎn)H．則BH=EG．

∵AF⊥EG，

∴BH⊥AF，

∴∠BIF=90°，

∴∠IBF+∠AFB=90°，

又∵直角△ABF中，∠BAF+∠AFB=90°，

∴∠BAF=∠IBF，

∴在△ABF和△BCH中，

，

∴△ABF≌△BCH，

∴AF=BH，

∴AF=EG；

（2）同理作BM∥EG交CD于點(diǎn)M，作AN∥HF交BC于點(diǎn)N．

同（1）可得∠BAN=∠MBC，

又∵∠ABN=∠C，

∴△ABN∽△BCM，

∴==，又HF=AN，EG=BM，

∴y=；

（3）解：∵CO=4﹣a，DO=3+b．

∴Rt△DOC中，DC²=（4﹣a）²+（3+b）²，

即（4﹣a）²+（3+b）²=5²．

當(dāng)a=b時，有（4﹣a）²+（3+a）²=25，

解得a=1或a=0（不合）．

故答案為：1；

（4）當(dāng)0＜a＜1時，a＜b．理由如下：

如圖5，過點(diǎn)B作DC的平行線，過點(diǎn)C作OF的平行線，兩線交于點(diǎn)P，連接AP．

∵CD∥BP，PC∥OF，

∴DBPC為平行四邊形，

∴BP=DC，CP=BD．

又AB=DC，

∴BP=AB．

∴∠BAP=∠3+∠1=∠BPA=∠4+∠2．

若a＜b，即AC＜BD=CP，因而在△ACP中，

∵∠1＞∠2，

∴∠3＜∠4．

又∵∠5=∠4，

∴∠3＜∠5．

∵Rt△ABO中，sin∠3==，

同理sin∠5==，

∴＞，

解得，0＜a＜1．

【點(diǎn)評】本題考查的是四邊形綜合題，掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵，解答時注意銳角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用．