Question

已知正方形ABCD中，E為對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BD交BC于點(diǎn)F，連接DF，G為DF的中點(diǎn)，連接EG，CG． (1)求證：EG＝CG． (2)將圖(1)中△BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，如圖(2)所示，取DF的中點(diǎn)G，連接EG，CG．問(wèn)：(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由． (3)將圖(1)中△BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖(3)所示，取DF的中點(diǎn)G，連接EG，CG．問(wèn)：(1)中的結(jié)論是否仍然成立？通過(guò)觀察你還能得出什么結(jié)論？(均不要求證明)

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：在Rt△FCD中， 　　∵G為斜邊DF的中點(diǎn)， 　　∴． 　　在Rt△DEF中， 　　∵G為斜邊DF的中點(diǎn)， 　　∴． 　　∴CG＝EG． 　　(2)解：(1)中結(jié)論仍然成立，即EG＝CG． 　　連接AG，過(guò)G點(diǎn)作MN⊥AD于M，與EF的延長(zhǎng)線(xiàn)交于N點(diǎn)． 　　在△DAG與△DCG中， 　　∵AD＝CD，∠ADG＝∠CDG＝45°，DG＝DG， 　　∴△DAG≌DCG． 　　∴AG＝CG． 　　在△DMG與△FNG中， 　　∵∠DGM＝∠FCN，F(xiàn)G＝DG，∠MDG＝∠NFG＝45°， 　　∴△DMG≌△FNG．∴MG＝NG． 　　在矩形AENM中，AM＝EN． 　　在Rt△AMG與Rt△ENG中， 　　∵AM＝EN，MG＝NG， 　　∴△AMG≌△ENG． 　　∴AG＝EG． 　　∴EG＝CG． 　　(3)解：(1)中的結(jié)論仍然成立， 　　即EG＝CG．其他的結(jié)論還有：EG⊥CG．