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        1. 如圖,O是∠ABC的邊BA上一點,以O為圓心的圓與角的另一邊BC相切于點D,交BO于點E,F(xiàn)是OA上一點,過F作FG⊥AB,交BC于點G,BD=2
          3
          ,sin∠ABC=
          1
          2
          ,設OF=x,四邊形EDGF的面積為y.
          (1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
          (2)在直角平面坐標系內(nèi)畫出這個函數(shù)的大致圖象;
          (3)這個函數(shù)的圖象與經(jīng)過點(1,
          3
          3
          )的正比例函數(shù)的圖象有無交點?若有交點,精英家教網(wǎng)求出交點坐標;若無交點,試說明理由.
          分析:(1)連接OD,則由切線性質(zhì)可得OD⊥BC,作EH⊥BD垂足為H,由sin∠ABC=
          1
          2
          ,可知∠ABC=30°,圖形中就有三個30°的直角三角形,分別是△BEH、△BOD和△BGF,先解△BOD,由BD=2
          3
          ,可求OD、OB、BE,再解△BEH,可求EH及△BED的面積,由于OF=x,則BF可表示出來,解Rt△BGF,可表示FG及△BGF的面積,用S四邊形EDGF=S△BGF-S△BDE即可;
          (2)畫圖象時,要注意拋物線對稱軸,頂點坐標,與坐標軸的交點及自變量的取值范圍;
          (3)由點(1,
          3
          3
          )可得正比例函數(shù)關(guān)系式,與二次函數(shù)解析式聯(lián)立,解方程組即可.
          解答:精英家教網(wǎng)解:(1)連接OD,則OD⊥BC,
          ∴△BOD是直角三角形,由sin∠ABC=
          1
          2
          =
          OD
          OB
          ,設OD=m,則OB=2m,
          在Rt△OBD中,BO2=BD2+OD2;即(2m)2=(2
          3
          2+m2,
          ∴OD=m=2,OB=2m=4,
          ∴BE=OB-OE=OB-OD=4-2=2,BF=OB+OF=4+x.
          作EH⊥BD垂足為H,則∠BHE=∠BDO=90°,
          ∴EH∥OD,
          ∵BE=OE,BH=HD,
          ∴EH=
          1
          2
          OD.
          又∵S△OBD=
          1
          2
          BD•OD=
          1
          2
          ×2
          3
          ×2=2
          3
          ,
          ∴S△BED=
          1
          2
          S△OBD=
          3
          ,
          ∵GF⊥AB,∴∠BDO=∠BFG=90°,
          又∵∠DBO=∠FBG,
          ∴△OBD∽△GBF,
          S△OBD
          S△GBF
          =(
          BD
          BF
          )
          2
          ,
          2
          3
          S△GBF
          =(
          2
          3
          4+x
          )
          2

          ∴S△GBF=
          3
          6
          (4+x)2-
          3

          即y=
          3
          6
          (4+x)2-
          3


          (2)所求函數(shù)的大致圖象如圖所示.
          精英家教網(wǎng)
          (3)設正比例函數(shù)為y=kx
          ∵這個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(1,
          3
          6
          ).
          3
          6
          =k×1,
          ∴k=
          3
          6

          ∴這個正比例函數(shù)是y=
          3
          6
          x.
          解方程組
          y=
          3
          6
          x
          y=
          3
          6
          (4+x)2-
          3
          ,
          x1=-2
          y1=-
          3
          3
          ,
          x2=-5
          y2=-
          5
          3
          6

          ∴這個正比例函數(shù)與(1)中函數(shù)的圖象有兩個交點,
          其坐標分別為(-2,-
          3
          3
          )、(-5,-
          5
          6
          3
          ).
          點評:本題考查了解直角三角形,三角形面積的表示方法,求二次函數(shù)解析式及其圖象,二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點等綜合運用問題,在表示不規(guī)則四邊形面積時,要學會作差法.
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