Question

【題目】解方程|x－1|＋|x＋2|＝5.由絕對(duì)值的幾何意義知，該方程表示求在數(shù)軸上與1和－2的距離之和為5的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x的值．在數(shù)軸上，1和－2的距離為3，滿足方程的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)在1的右邊或－2的左邊，若x對(duì)應(yīng)點(diǎn)在1的右邊，由圖可以看出x＝2；同理，若x對(duì)應(yīng)點(diǎn)在－2的左邊，可得x＝－3，故原方程的解是x＝2或x＝－3.

參考閱讀材料，解答下列問題：

(1)方程|x＋3|＝4的解為________．

(2)解不等式|x－3|＋|x＋4|≥9；

(3)若|x－3|＋|x＋4|≥a對(duì)任意的x都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 1和－7；(2) x≥4或x≤－5(3) a≤7

【解析】

(1)根據(jù)已知條件可以得到絕對(duì)值方程，可以轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上，到某個(gè)點(diǎn)的距離的問題，即可求解；

(2)不等式|x－3|＋|x＋4|≥9表示到3與－4兩點(diǎn)距離的和，大于或等于9個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)所表示的數(shù)；

(3)|x－3|＋|x＋4|≥a對(duì)任意的x都成立，即求到3與－4兩點(diǎn)距離的和最小的數(shù)值．

(1)方程|x＋3|＝4的解就是在數(shù)軸上到－3這一點(diǎn)，距離是4個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)所表示的數(shù)，是1和－7.故解是1和－7；

(2)由絕對(duì)值的幾何意義知，該方程表示求在數(shù)軸上與3和－4的距離之和為大于或等于9的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x的值．在數(shù)軸上，即可求得x≥4或x≤－5.

(3)|x－3|＋|x＋4|即表示x的點(diǎn)到數(shù)軸上與3和－4的距離之和，

當(dāng)表示對(duì)應(yīng)x的點(diǎn)在數(shù)軸上3與－4之間時(shí)，距離的和最小，是7.故a≤7.