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        1. 【題目】如圖,將矩形ABCD沿AH折疊,使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處.折痕與邊BC交于點(diǎn) H,

          已知AD=8,HC:HB=3:5.

          (1)求證:△HCP∽△PDA;

          (2) 探究AB與HB之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

          (3)連結(jié)BP,動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上(點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合),動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長線上,且BN=PM,連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F,作ME⊥BP于點(diǎn)E.試問當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中,線段EF的長度是否發(fā)生變化?若變化,說明理由;說明理由;若不變,求出線段EF的長度.

          【答案】(1)證明見解析;(2)AB=2BH.,理由見解析;(3) EF的長度不變.

          【解析】試題分析:(1)根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似可求證;

          (2)根據(jù)(1)的結(jié)論,由相似三角形的性質(zhì)可求出二者之間的關(guān)系;

          3作MQ∥AB交PB于Q,可得MQP=ABP, 然后由折疊的性質(zhì)可知,∠APB=∠ABP,即MQP=APB,根據(jù)等角對等邊可得MP=MQ,又BN=PM,根據(jù)等量代換可得MQ=BN,然后由平行線分線段成比例可求EF=PB,最后根據(jù)勾股定理求解.

          試題解析:(1)由折疊的性質(zhì)可知,

          ∠APH=∠B=90°, ∴∠APD+∠HPC=90°,

          又∠PHC+∠HPC=90°, ∴∠APD=∠PHC,

          又∠D=∠C=90°,∴△HCP∽△PDA;

          (2)AB=2BH.

          ∵HC:HB=3:5,設(shè)HC=3x,則HB=5x,

          在矩形ABCD中,BC=AD=8 ,∴HC=3,則HB=5

          由折疊的性質(zhì)可知HP=HB=5,AP=AB,

          Rt△HCP,易得PC=4,

          ∵△HCP∽△PDA

          ,

          ∴AB=AP=10=2BH,即AB=2BH.

          (3)EF的長度不變.

          作MQ∥AB交PB于Q, ∴∠MQP=∠ABP,

          由折疊的性質(zhì)可知,∠APB=∠ABP,

          ∴∠MQP=∠APB,

          ∴MP=MQ,又BN=PM,∴MQ=BN,

          MQAB,

          ∴QF=FB,

          MP=MQ,MEBP, PE=QEEF=PB,

          由(2)得,PC=4,BC=8,

          PB==

          EF=

          練習(xí)冊系列答案
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          【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)DAC的中點(diǎn),延長BCE,使CECD.

          (1)用尺規(guī)作圖的方法,過點(diǎn)DDMBE,垂足為M(不寫作法,只保留作圖痕跡);

          (2)AB2,求EM的長.

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          1)求證:不論m為何值,該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;

          2)若x1是該方程的根,求代數(shù)式4m2+2m+5的值.

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