Question

已知：如圖，在四邊形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點(diǎn)C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿著x軸正方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作PQ垂直于直線OA，垂足為點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間t秒（0＜t＜2），△OPQ與四邊形OABC重疊部分的面積為S．

（1）求經(jīng)過(guò)O、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）如果將△OPQ繞著點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，是否存在t，使得△OPQ的頂點(diǎn)O或頂點(diǎn)Q在拋物線上？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）求出S與t的函數(shù)關(guān)系式．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx（a≠0），然后把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入求出a、b的值，即可得解；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出點(diǎn)O、Q的坐標(biāo)，然后分別代入拋物線解析式，求解即可；

（3）求出點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)的t=1，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)的t=1.5，t=2時(shí)PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，然后分①0＜t≤1時(shí)，重疊部分的面積等于△POQ的面積，②1＜t≤1.5時(shí)，重疊部分的面積等于兩個(gè)等腰直角三角形的面積的差，③1.5＜t＜2時(shí)，重疊部分的面積等于梯形的面積減去一個(gè)等腰直角三角形的面積分別列式整理即可得解．

【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx（a≠0），

把點(diǎn)A（1，﹣1），B（3，﹣1）代入得，

，

解得：，

故拋物線解析式為y=x²﹣x；

（2）如圖1，∵點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，

∴OP=2t，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2t，0），

∵A（1，﹣1），

∴∠AOC=45°，

∴點(diǎn)Q到x軸、y軸的距離都是OP=×2t=t，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（t，﹣t）；

∵△OPQ繞著點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，

∴旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)O、Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2t，﹣2t），（3t，﹣t），

若頂點(diǎn)O在拋物線上，則×（2t）²﹣×（2t）=﹣2t，

解得：t=，

若頂點(diǎn)Q在拋物線上，則×（3t）²﹣×（3t）=﹣t，

解得：t=1，

綜上所述，存在t=或1，使得△OPQ的頂點(diǎn)O或頂點(diǎn)Q在拋物線上；

（3）如圖2，點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，OP=1×2=2，t=2÷2=1，

點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，OP=3，t=3÷2=1.5，

t=2時(shí)，OP=2×2=4，PC=4﹣3=1，此時(shí)PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，

所以，分三種情況討論：

①0＜t≤1時(shí)，重疊部分的面積等于△POQ的面積，S=×（2t）×=t²，

②1＜t≤1.5時(shí)，重疊部分的面積等于兩個(gè)等腰直角三角形的面積的差，

S=×（2t）×﹣×（t﹣）²=2t﹣1；

③1.5＜t＜2時(shí)，重疊部分的面積等于梯形的面積減去一個(gè)等腰直角三角形的面積

S=×（2+3）×1﹣×[1﹣（2t﹣3）]²=﹣2（t﹣2）²+；

所以，S與t的關(guān)系式為S=．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，難點(diǎn)在于（3）隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間的變化，根據(jù)重疊部分的形狀的不同分情況討論，作出圖形更形象直觀．