Question

【題目】如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠AOC=60°．將一直角三角板MON的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．

（1）求∠CON的度數(shù)；

（2）如圖2是將圖1中的三角板繞點O按每秒15°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周的情況，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時，三條射線OA、OC、OM構成兩個相等的角，求此時的t值

（3）將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖3（使ON在∠AOC的外部），圖4（使ON在∠AOC的內(nèi)部）請分別探究∠AOM與∠NOC之間的數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）150°；（2）t為4，16，10或22秒；（3）ON在∠AOC的外部時，∠NOC -∠AOM=30°；ON在∠AOC的內(nèi)部時，∠AOM-∠NOC=30°，理由見解析

【解析】

（1）根據(jù)角的和差即可得到結論；
（2）在圖2中，分四種情況討論：①當∠COM為60°時，②當∠AOM為60°時，③當OM可平分∠AOC時，④當OM反向延長線平分∠AOC時，根據(jù)角的和差即可得到結論；
（3）ON在∠AOC的外部時和當ON在∠AOC內(nèi)部時，分別根據(jù)角的和差即可得到結論．

(1)已知∠AOC=60°，MO⊥ON，

∴∠AON=90°，

∴∠CON=∠AON+∠AOC=150°；

(2)∵∠AOC=60°，

①當∠COM為60°時，

旋轉(zhuǎn)前∠COM為120°，故三角板MON逆時針旋轉(zhuǎn)了60°，旋轉(zhuǎn)了4秒；

②當∠AOM為60°時，

旋轉(zhuǎn)前∠AOM為180°，OM不與OC重合，

故三角板MON逆時針旋轉(zhuǎn)了240°，旋轉(zhuǎn)了16秒；

③當OM可平分∠AOC時，

∠MOB=180°-30°=150°，故三角板MON逆時針旋轉(zhuǎn)了150°，旋轉(zhuǎn)了10秒；

④當OM反向延長線平分∠AOC時，

，

故三角板MON逆時針旋轉(zhuǎn)了330°，旋轉(zhuǎn)了22秒，

綜上t為：4，16，10或22秒；

(3) ∵∠MON=90°，∠AOC=60°，

當旋轉(zhuǎn)到如圖，ON在∠AOC的外部時，

∴∠AOM=60°+∠COM，∠NOC=90°+∠COM，

∴∠NOC -∠AOM=30°；

當旋轉(zhuǎn)到如圖，ON在∠AOC的內(nèi)部時，

∴∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=60°-∠AON，

∴∠AOM-∠NOC=30°．