Question

如圖，以AB為直徑作半圓與直角梯形ABED另一腰DE相切于C點，再分別以AC、BC、
AD、CD、CE、BE為直徑作半圓．若AC=3，BC=4，則圖中陰影部分的面積和為

 

．

Answer 1

分析：先取AB的中點O，連接OC，由勾股定理求出AB的長，再根據(jù)切線的性質(zhì)判斷出OC是梯形ABED的中位線，求出OC的長，根據(jù)直角梯形的性質(zhì)及勾股定理求出CE的長，進(jìn)而求出梯形的高，再根據(jù)勾股定理及圓的面積公式得出S_陰影=S_梯形ABED-S_△ABC，再把相應(yīng)的數(shù)值代入進(jìn)行計算即可．

解答：解：取AB的中點O，連接OC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AC=3，BC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=

32+42

=5，
∵DE是⊙O的切線，
∴OC⊥DE，
∵梯形ABED是直角梯形，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴OC是梯形ABED的中位線，
∴CD=CE，

AD+BE

2

=OC，
∴OA=OC=

AB

2

=

5

2

，
∵梯形ABED是直角梯形，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴AC²-AD²=BC²-BE²，即3²-（2OC-BE）²=4²-BE²，即3²-（5-BE）²=4²-BE²，解得BE=3.2，
∴CD=CE=

BC2-BE2

=

42-3.22

=

12

5

，
∴DE=2CE=2×

12

5

=

24

5

，
∵△ACD是直角三角形，
∴AC2=AD²+CD²，
∴（

AC

2

）²=（

CD

2

）²+（

AD

2

）²，
即以AC為半徑的圓的半圓的面積等于以CD為半徑的半圓與以AD為半徑的半圓面積的和，
∴以CD為半徑的半圓陰影部分與以AD為半徑的半圓陰影部分面積的和等于Rt△ACD的面積，
同理可得，以BE為半徑的半圓陰影部分與以CE為半徑的半圓陰影部分面積的和等于Rt△CBE的面積，
∴S_陰影=S_梯形ABED-S_△ABC=

(AD+BE)×DE

2

-

1

2

AC×BC=OC×DE-

1

2

AC×BC=2.5×

24

5

-

1

2

×3×4=6．
故答案為：6．

點評：本題考查的是切線的性質(zhì)、勾股定理及直角梯形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造出梯形的中位線，再根據(jù)中位線的性質(zhì)進(jìn)行解答．