Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+mx+n與x軸交于A，B兩點(diǎn)，y與軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D．已知A（﹣1，0），C（0，3）

（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在P點(diǎn)，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形，如果存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由；
（3）點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，
①求直線BC 的解析式；
②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣ x2+mx+n經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，2）．

解得： ，

∴拋物線的解析式為：y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：如圖1，∵y=﹣ x2+ x+2，

∴y=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∴拋物線的對稱軸是直線x= ．

∴OD= ．

∵C（0，2），

∴OC=2．

在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD= ．

∵△CDP是以CD為腰的等腰三角形，

∴CP1=DP2=DP3．

作CH⊥x軸于H，

∴HP1=HD=2，

∴DP1=4．

∴P1（ ，4），P2（ ， ），P3（ ，﹣ ）

（3）

解：當(dāng)y=0時(shí)，0=﹣ x2+ x+2

∴x1=﹣1，x2=4，

∴B（4，0）．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，由圖象，得

，

解得： ，

∴直線BC的解析式為：y=﹣ x+2．

如圖2，過點(diǎn)C作CM⊥EF于M，設(shè)E（a，﹣ a+2），F(xiàn)（a，﹣ a2+ a+2），

∴EF=﹣ a2+ a+2﹣（﹣ a+2）=﹣ a2+2a（0≤x≤4）．

∵S四邊形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF= BDOC+ EFCM+ EFBN，

= ×2+ a（﹣ a2+2a）+ （4﹣a）（﹣ a2+2a），

=﹣a2+4a+ （0≤x≤4）．

=﹣（a﹣2）2+

∴a=2時(shí)，S四邊形CDBF的面積最大= ，

∴E（2，1）．

【解析】（1）由待定系數(shù)法建立二元一次方程組求出m、n的值即可；（2）如圖1中，分兩種情形討論①當(dāng)PD=DC時(shí)，當(dāng)CP=CD時(shí)，分別寫出點(diǎn)P坐標(biāo)即可．（3）先求出BC的解析式，設(shè)出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為a，由四邊形CDBF的面積=S△BCD+S△CEF+S△BEF求出S與a的關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解二次函數(shù)的圖象(二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn))，還要掌握二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．