Question

如圖，已知AB=3，BC=7，CD=.且AB⊥BC，∠BCD=135°。點(diǎn)M是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AM、DM。
①點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)AM+DM的值最小時(shí)，BM=        ；
②當(dāng) AM²+DM²的值最小時(shí)，BM=        。

Answer 1

、6

試題分析：（1）延長(zhǎng)AB到E，使BE=AB，連接ED交BC于M，連接AM，則此時(shí)AM+DM的值最小，過(guò)D作DF⊥BC交BC延長(zhǎng)線于F，求出DF，根據(jù)相似求出BM即可；
（2）根據(jù)勾股定理得出AM²=AB²+BM²=3²+x²，DM²=DF²+FM²=5²+（5+7-x）²，相加即可求出答案．
（1）延長(zhǎng)AB到E，使BE=AB，連接ED交BC于M，連接AM，則此時(shí)AM+DM的值最小，過(guò)D作DF⊥BC交BC延長(zhǎng)線于F，

∵∠BCD=135°，
∴∠DCF=45°，
∵CD=，
則CF=CD×cos45°=5，
DF=CF=5，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∴△BEM∽△FDM，
∴
∴，解得，
（2）設(shè)BM=x，
在Rt△ABM中，AM²=AB²+BM²=3²+x²，
∵在Rt△DFM中，DM²=DF²+FM²=5²+（5+7-x）²，
∴AM²+DM²=9+x²+25+（12-x）²=2x²-24x+178=2（x-6）²+106，
∵2＞0，
∴AM²+DM²有最小值，當(dāng)x=6時(shí)，最小值是106，
點(diǎn)評(píng)：相似三角形的判定和性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，貫穿于整個(gè)初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，是中考中比較常見(jiàn)的知識(shí)點(diǎn)，一般難度不大，需熟練掌握.