Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，過(guò)點(diǎn)作直線垂直軸，點(diǎn)是直線上異于點(diǎn)的一點(diǎn)，且.過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，點(diǎn)在直線上，且在直線的下方，.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（1）判斷△的形狀，并加以證明；
（2）直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫自變量的取值范圍）；
（3）延長(zhǎng)交（2）中所求函數(shù)的圖象于點(diǎn).求證：.

Answer 1

（1）△為等腰三角形；（2）；

試題分析：（1）由，，可得，由，可得到，即可得到，即可作出判斷；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征求解即可；
（3）過(guò)作于，于交直線于，由BC=OC可得，設(shè)，，則，，再分①當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，三種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可.
（1）△為等腰三角形

∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴△為等腰三角形；
（2）與的函數(shù)關(guān)系式為；
（3）過(guò)作于，于交直線于.
∵C為拋物線上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，且BC=OC，
∴．
設(shè)，,
則，.
①當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，

∵
∴.
∵∥，
∴△∽△．
∴．
∴
∴．
∴；
②當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，，.同理可證；

③當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，.

∴.
點(diǎn)評(píng)：此類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見(jiàn)，一般作為壓軸題，題目比較典型．