Question

【題目】我們規(guī)定：如果一個(gè)三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱這個(gè)三角形為“智慧三角形”．

理解：

（1）如圖1，已知A、B是⊙O上兩點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫A上找出滿足條件的點(diǎn)C，使△ABC為“智慧三角形”（畫出點(diǎn)C的位置，保留作圖痕跡）；

（2）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，點(diǎn)Q是直線y＝3上的一點(diǎn)，若在⊙O上存在一點(diǎn)P，使得△OPQ為“智慧三角形”，當(dāng)其面積取得最小值時(shí)，直接寫出此時(shí)PQ的長(zhǎng)和點(diǎn)Q的坐標(biāo)

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），Q(0,3)

【解析】

（1）連結(jié)BO并且延長(zhǎng)交圓于C1，連結(jié)AO并且延長(zhǎng)交圓于C2，即可求解；

（2）根據(jù)“智慧三角形”的定義可得△OPQ為直角三角形，根據(jù)題意可得一條直角邊為1，當(dāng)斜邊最短時(shí)，另一條直角邊最短，則面積取得最小值，由垂線段最短可得斜邊最短為3，從而得到點(diǎn)Q坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理可求另一條直角邊即PQ長(zhǎng)．

解：（1）如圖所示，過直徑做△ABC即可；

（2）如圖所示：

由“智慧三角形”的定義可得△OPQ為直角三角形，

根據(jù)題意可得一條直角邊OP＝1，

∴PQ最小時(shí)，△POQ的面積最小，

根據(jù)勾股定理可知，當(dāng)斜邊OQ最短時(shí)，PQ最小，面積取得最小值，

由垂線段最短可得斜邊最短為3，即OQ=3，

∴Q（0，3），

由勾股定理可得PQ＝＝，

∴當(dāng)面積取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0，3)，PQ的長(zhǎng)為.