Question

【題目】已知拋物線y=mx2+2mx+m-1和直線y=mx+m-1，且m≠0．

（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）試說明拋物線與直線有兩個交點(diǎn)；

（3）已知點(diǎn)T（t，0），且-1≤t≤1，過點(diǎn)T作x軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)P，與直線交于點(diǎn)Q，當(dāng)0＜m≤3時，求線段PQ長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（-1，-1）；（2）見解析；（3）PQ的最大值為6.

【解析】

（1）化為頂點(diǎn)式即可求頂點(diǎn)坐標(biāo);

（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，整理得，mx（x+1）=0，即可知拋物線與直線有兩個交點(diǎn);

（3）由（2）可得：拋物線與直線交于（-1，-1）和（0，m-1）兩點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，mt2+2mt+m-1），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（t，mt+m-1）． 故分兩種情況進(jìn)行討論：①如圖1，當(dāng)-1≤t≤0時；②如圖2，當(dāng)0＜t≤1時，求出對應(yīng)的最大值即可．

解：（1）∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1）．

（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，

mx2+mx=0，mx（x+1）=0，

∵m≠0，

∴x1=0，x2=-1．

∴拋物線與直線有兩個交點(diǎn)．

（3）由（2）可得：拋物線與直線交于（-1，-1）和（0，m-1）兩點(diǎn)，

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，mt2+2mt+m-1），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（t，mt+m-1）．

①如圖1，當(dāng)-1≤t≤0時，PQ==．

∵m＞0，

當(dāng)時，PQ有最大值，且最大值為．

∵0＜m≤3，∴≤，即PQ的最大值為．

②如圖2，當(dāng)0＜t≤1時，PQ==．

∵m＞0，

∴當(dāng)t=1時，PQ有最大值，且最大值為2m．

∵0＜m≤3，

∴0＜2m≤6，即PQ的最大值為6．

綜上所述，PQ的最大值為6．