Question

【題目】下面是小蕓設(shè)計(jì)的“過(guò)圓外一點(diǎn)作已知圓的切線(xiàn)”的尺規(guī)作圖過(guò)程．

已知：⊙O 及⊙O 外一點(diǎn) P．

求作：⊙O 的一條切線(xiàn)，使這條切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn) P．

作法：①連接 OP，作 OP 的垂直平分線(xiàn) l，交 OP 于點(diǎn) A；

②以 A 為圓心，AO 為半徑作圓，交⊙O 于點(diǎn) M；

③作直線(xiàn) PM，則直線(xiàn) PM 即為⊙O 的切線(xiàn)．

根據(jù)小蕓設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；(保留作圖痕跡)

（2）完成下面的證明：

證明：連接 OM，

由作圖可知，A 為 OP 中點(diǎn)，

∴OP 為⊙A 直徑，

∴∠ ＝90°（ ）（填推理的依據(jù)）

即 OM⊥PM．

又∵點(diǎn) M 在⊙O 上，

∴PM 是⊙O 的切線(xiàn)．（ ）（填推理的依據(jù)）

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）OMP；直徑所對(duì)的圓周角是直角；經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．

【解析】

（1）根據(jù)作圖步驟利用尺規(guī)作圖可得；
（2）①根據(jù)“直徑所對(duì)圓周角是直角”可得；②根據(jù)“經(jīng)過(guò)半徑的外端點(diǎn)，并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)”可得．

解：（1）補(bǔ)全圖形，如圖所示：

（2）證明：連接OM，
由作圖可知，A為OP中點(diǎn)，
∴OP為⊙A直徑，
∴∠OMP＝90°，（直徑所對(duì)的圓周角是直角），
即OM⊥PM．
又∵點(diǎn)M在⊙O上，
∴PM是⊙O的切線(xiàn)．（經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)），
故答案為：OMP；直徑所對(duì)的圓周角是直角；經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．