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        1. 【題目】如圖1,已知BADBCE均為等腰直角三角形,∠BAD=BCE=90°,點(diǎn)MDE的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)EAD平行的直線交射線AM于點(diǎn)N

          (1)當(dāng)A,BC三點(diǎn)在同一直線上時(shí)(如圖1),求證:MAN的中點(diǎn);

          (2)將圖1中BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),當(dāng)AB,E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)(如圖2),求證:CAN為等腰直角三角形;

          (3)將圖1中BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí),(2)中的結(jié)論是否仍然成立?若成立,試證明之;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

          【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3△ACN仍為等腰直角三角形.證明見(jiàn)解析.

          【解析】試題分析:(1)由EN∥AD和點(diǎn)MDE的中點(diǎn)可以證到△ADM≌△NEM,從而證到MAN的中點(diǎn).

          2)易證AB=DA=NE,∠ABC=∠NEC=135°,從而可以證到△ABC≌△NEC,進(jìn)而可以證到AC=NC,∠ACN=∠BCE=90°,則有△ACN為等腰直角三角形.

          3)延長(zhǎng)ABNE于點(diǎn)F,易得△ADM≌△NEM,根據(jù)四邊形BCEF內(nèi)角和,可得∠ABC=∠FEC,從而可以證到△ABC≌△NEC,進(jìn)而可以證到AC=NC,∠ACN=∠BCE=90°,則有△ACN為等腰直角三角形.

          試題解析:(1)如圖1,

          ∵EN∥AD,

          ∴∠MAD=∠MNE,∠ADM=∠NEM

          點(diǎn)MDE的中點(diǎn),

          ∴DM=EM

          △ADM△NEM中,

          ∴△ADM≌△NEM

          ∴AM=MN

          ∴MAN的中點(diǎn).

          2)如圖2,

          ∵△BAD△BCE均為等腰直角三角形,

          ∴AB=AD,CB=CE∠CBE=∠CEB=45°

          ∵AD∥NE,

          ∴∠DAE+∠NEA=180°

          ∵∠DAE=90°

          ∴∠NEA=90°

          ∴∠NEC=135°

          ∵A,BE三點(diǎn)在同一直線上,

          ∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°

          ∴∠ABC=∠NEC

          ∵△ADM≌△NEM(已證),

          ∴AD=NE

          ∵AD=AB,

          ∴AB=NE

          △ABC△NEC中,

          ∴△ABC≌△NEC

          ∴AC=NC,∠ACB=∠NCE

          ∴∠ACN=∠BCE=90°

          ∴△ACN為等腰直角三角形.

          3△ACN仍為等腰直角三角形.

          證明:如圖3,延長(zhǎng)ABNE于點(diǎn)F,

          ∵AD∥NEM為中點(diǎn),

          易得△ADM≌△NEM

          ∴AD=NE

          ∵AD=AB,

          ∴AB=NE

          ∵AD∥NE,

          ∴AF⊥NE,

          在四邊形BCEF中,

          ∵∠BCE=∠BFE=90°

          ∴∠FBC+∠FEC=360°﹣180°=180°

          ∵∠FBC+∠ABC=180°

          ∴∠ABC=∠FEC

          △ABC△NEC中,

          ∴△ABC≌△NEC

          ∴AC=NC,∠ACB=∠NCE

          ∴∠ACN=∠BCE=90°

          ∴△ACN為等腰直角三角形.

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