Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，已知∠D=30°．

（1）求∠A的度數(shù)；
（2）若點F在⊙O上，CF⊥AB，垂足為E，CF= ，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OC，

∵CD切⊙O于點C

∴∠OCD=90°

∵∠D=30°

∴∠COD=60°

∵OA=OC

∴∠A=∠ACO=30°

（2）解：∵CF⊥直徑AB，CF=

∴CE=

∴在Rt△OCE中，tan∠COE= ，

OE= = =2，

∴OC=2OE=4

∴S扇形BOC= ，

∴S陰影=S扇形BOC﹣S△EOC= ．

【解析】（1）連接OC，則△OCD是直角三角形，可求出∠COD的度數(shù)；由于∠A與∠COD是同弧所對的圓周角與圓心角．根據(jù)圓周角定理即可求得∠A的度數(shù)；（2）由圖可知：陰影部分的面積是扇形OCB和Rt△OEC的面積差；那么解決問題的關(guān)鍵是求出半徑和OE的長；在Rt△OCE中，∠OCE=∠D=30°，已知了CE的長，通過解直角三角形，即可求出OC、OE的長，由此得解．
【考點精析】利用切線的性質(zhì)定理和扇形面積計算公式對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．