Question

（2005•豐臺(tái)區(qū)）在直角坐標(biāo)系中，⊙O₁經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點(diǎn)A、B．
（1）如圖，過點(diǎn)A作⊙O₁的切線與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)O到直線AB的距離為，sin∠ABC=，求直線AC的解析式；
（2）若⊙O₁經(jīng)過點(diǎn)M（2，2），設(shè)△BOA的內(nèi)切圓的直徑為d，試判斷d+AB的值是否會(huì)發(fā)生變化？如果不變，求出其值；如果變化，求其變化的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）過O作OG⊥AB于G，則OG=．根據(jù)三角函數(shù)分別求出A、C的坐標(biāo)．利用待定系數(shù)法可求得直線AC的解析式為y=x-．
（2）設(shè)△AOB的內(nèi)切圓分別切OA、OB、AB于點(diǎn)P、Q、T，則可求得BQ=BT=OB-，AP=AT=OA-，AB=BT+AT=OB-+OA-=OA+OB-d，則d+AB=d+OA+OB-d=OA+OB．
在x軸上取一點(diǎn)N，使AN=OB，連接OM、BM、AM、MN，求得△BOM≌△ANM，所以有OA+OB=OA+AN=ON=×OM=×2=4，即d+AB的值不會(huì)發(fā)生變化，其值為4．
解答：解：（1）如圖1，過O作OG⊥AB于G，則OG=．
設(shè)OA=3k（k＞0），
∵∠AOB=90°，sin∠ABC=．
∴AB=5k，OB=4k．
∵OA•OB=AB•OG=2S_△AOB′
∴3k×4k=5×，∴k=1．
∴OA=3，OB=4，AB=5，
∴A（3，0）．
∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙O₁的直徑．
∵AC切⊙O₁于A，
∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°．
在Rt△ABC中
∵cos∠ABC=，
∴BC=．
∴OC=BC-OB=．
∴C（0，-）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則
∴．
∴直線AC的解析式為y=x-．

（2）結(jié)論：d+AB的值不會(huì)發(fā)生變化，
設(shè)△AOB的內(nèi)切圓分別切OA、OB、AB于點(diǎn)P、Q、T，如圖2所示．
∴BQ=BT，AP=AT，OQ=OP=．
∴BQ=BT=OB-，AP=AT=OA-．
∴AB=BT+AT=OB-+OA-=OA+OB-d．
則d+AB=d+OA+OB-d=OA+OB．
在x軸上取一點(diǎn)N，使AN=OB，連接OM、BM、AM、MN．
∵M(jìn)（2，2），
∴OM平分∠AOB，
∴OM=2，
∴∠BOM=∠MON=45°，
∴AM=BM，
又∵∠MAN=∠OBM，OB=AN，
∴△BOM≌△ANM，
∴∠BOM=∠ANM=45°，∠ANM=∠MON，
∴OM=NM∠OMN=90°，
∴OA+OB=OA+AN=ON=×OM=×2=4．
∴d+AB的值不會(huì)發(fā)生變化，其值為4．
點(diǎn)評(píng)：主要考查了一次函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度或表示線段的長(zhǎng)度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．